$3^{123} \mod 100$

De hecho, tienes razón. Sin embargo, hay una pequeña mejora. Usando la función de Carmichael , puede argumentar que una potencia menor de$3$, a saber $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. La función de Carmichael de divide la mitad de la función totient de Euler cuando el argumento es par y el totient de Euler es un múltiplo de$4$, que es cierto para $\lambda(100)$; así$3^{20}$ puede sustituir $3^{40}$ en el argumento.

En un nivel más elemental, puede renderizar $3^4=80+1$ y elevar ambos lados a la quinta potencia, así $3^{20}\equiv1\bmod 100$ como el teorema binomial para $(80+1)^5$ da múltiplos de $100$ más $1$.

Correcto, una solución alternativa:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

¡Correcto! Creo que tu lógica se sostiene correctamente. Por lo que puedo ver, esta es una aplicación correcta de la generalización de Euler del teorema de Fermat.$\phi(100) = 40$ y por lo tanto $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Si necesita más convencimiento, simplemente ingrese $3^{123}$ dentro https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Una vez más, no es realmente necesario, pero si necesita una prueba concreta, ahí está.

El OP comenzó buscando un patrón, pero declaró que

... a pesar de mucha inspección dolorosa, no arrojó un patrón útil obvio.

Puede usar algo de teoría de la luz para predecir realmente la forma y estructura del patrón.

Observa que si $a \in \{0,2,4,6,8\}$ y $b \in \{1,3,7,9\}$ y

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

entonces de hecho $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ y $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Este es nuestro principal patrón (teórico) y

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

Es fácil verificar que el dígito de las unidades se moverá

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

dentro de cada uno de estos cuatro ciclos.

Teniendo en cuenta que $3$es una unidad , podemos argumentar que uno de estos$4$-los ciclos terminarán en

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

y que no es posible la repetición hasta que se alcanza la identificación.

Dado que el dígito de las decenas solo puede recorrer el conjunto$\{0,2,4,6,8\}$, hay como máximo cinco de estos $4$-ciclos que deben calcularse.

Calculando el $2^{nd}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Calculando el $3^{rd}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Calculando el $4^{th}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

En este punto, realmente no tenemos que calcular el $5^{th}$ $4$-ciclo ya que sabemos que tiene que ser el último.

Ahora podemos usar el hecho de que

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

y resuelva los detalles restantes para la pregunta del PO.