$A$es matriz real y para algunos$k\geq 2,A^{k}$es similar a una matriz ortogonal, como probar$A$es también similar a una matriz ortogonal?

Aug 17 2020

Mi intento.

$A^{k}=POP^{-1}$.Aquí$O$es una matriz ortogonal.Quiero encontrar una matriz ortogonal$O_{1}$y$O_{1}^{k}=O.$Creo que esto podría hacerse porque la matriz invertible siempre tiene una 'raíz cuadrada'. Pero incluso si esto pudiera hacerse y$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Esto todavía no dará ninguna información sobre$A$Entonces, ¿cómo usar la información proporcionada por alguna forma canónica de$A^{k}$para encontrar información sobre$A$?

Nuevo intento.

Creo que tal vez debería considerar este problema en$\mathbb{C}.$Asi que$O$es una matriz normal compleja especial. Entonces, por el teorema espectral$O$es diagonalizable en$\mathbb{C}$.Esto significa$A^{k}$es diagonalizable y su módulo de valores propios es 1.So es A.So$A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$Es claro que M es similar a una matriz ortogonal en$\mathbb{C}.$

Esta prueba es bastante extraña ya que a menudo solo consideramos$\mathbb{R}$cuando se habla de matriz ortogonal y el problema en sí no indica el campo que usamos.

¿Hay alguna solución mejor?

Respuestas

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Asumo$P$es una matriz de valor real. (Si requiere$\mathbb C$lo siguiente puede modificarse ligeramente para contemplar en su lugar formas hermitianas).

Considere el espacio vectorial de coordenadas dado por$V=\mathbb R^n$y un operador lineal en este espacio dado por$T:= P^{-1}AP$. Basta con demostrar que$T$es similar a una matriz ortogonal real. Ya que$T^k$no es singular, también lo es$T$.

Con$\langle, \rangle$que denota el producto interno real estándar, definimos la siguiente forma bilineal simétrica personalizada . Para$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Es inmediato que esta forma es definida positiva. Aviso adicional

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Esto implica$T$es un operador ortogonal con respecto a la forma bilineal personalizada.

Ahora calcule la imagen de$T$con respecto a una base bien elegida
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
dónde$\mathbf B$se selecciona para que sea una base ortonormal con respecto a la forma bilineal personalizada y$Q$es alguna matriz. Como nuestro espacio vectorial es$V=\mathbb R^n$, notamos eso$\mathbf B$también puede interpretarse como una matriz invertible.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$es ortogonal con respecto al producto interior estándar .

Finalmente
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

de este modo$T$es similar a una matriz ortogonal

justificación detallada de que$Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$y$v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$y$\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
y por cálculo virtualmente idéntico$\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
donde se sigue la implicación porque$\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Dado que lo anterior es válido para la selección de arbitraria$\mathbf x$y$\mathbf y$concluimos que$Q$es ortogonal con respecto al producto interior estándar .

nota
Lo anterior también da una prueba de por qué$M^k = I$implica que$M$es diagonalizable sobre$\mathbb C$, como$I$es solo un caso especial de una matriz ortogonal real. Lo anterior muestra que$M$es similar a una matriz ortogonal real que por teorema espectral es similar a una matriz diagonal (sobre$\mathbb C$). La prueba estándar de este resultado que verá en este sitio utiliza un argumento polinomial mínimo, aunque el polinomio mínimo no parece aplicarse tan bien a la pregunta de OP.