$a\in \mathbb{N}$, $p$ principal, $a<p$ Pruebalo $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [duplicar]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ principal, $a<p$ Pruebalo $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

mi intento:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

no se como usar el dado
$a\mid p+1$

Answer 1

Tenemos $ a \mid p+1$ entonces alli esta $\lambda$ tal que $\lambda a =p+1$. Ahora divide por$ \lambda p$& tenemos \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}. \ end {eqnarray *}

La otra implicación: tenemos $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ o $abc=p(b+c)$.Multiplica esto por $a$ & reorganizar para $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

Esto da tres posibilidades $ab-p=1$ o $ac-p=1$& el resultado sigue. O$ab-p=p,ac-p=p$ lo que da $ab=ac=2p$ entonces $a=1$ o $a=2$ y de nuevo sigue el resultado.