¿Admite toda esfera de homología integral un espacio de cobertura finito?
Un cerrado $n$-colector $M$se llama una esfera de homología integral si$H_*(M; \mathbb{Z}) \cong H_*(S^n; \mathbb{Z})$. Además, decimos tal$M$ no es trivial si $M$ no es homeomorfo para $S^n$.
Me interesa la siguiente pregunta:
¿Admite toda esfera de homología integral no trivial un espacio de cobertura conectado finito (distinto de sí mismo)?
Los primeros ejemplos de esferas de homología integral no trivial ocurren en la dimensión tres. La descomposición prima de tales variedades solo puede contener factores asféricos. De la solución de Ian Agol de la conjetura virtual positiva del primer número de Betti se desprende que la respuesta a la pregunta anterior es sí en la dimensión tres.
Se puede reformular la pregunta anterior en términos puramente de teoría de grupos. Recuerda que un grupo$G$se llama superperfecto si$H_1(G; \mathbb{Z}) = 0$ y $H_2(G; \mathbb{Z}) = 0$. De ello se deduce que el grupo fundamental de una esfera de homología integral es un grupo superperfecto presentado de forma finita. A la inversa, cada grupo superperfecto presentado de forma finita surge como el grupo fundamental de una esfera de homología integral por un resultado de Kervaire, ver aquí . Por tanto, la pregunta anterior es equivalente a la siguiente:
¿Cada grupo superperfecto no trivial presentado de forma finita contiene un subgrupo de índice finito (que no sea él mismo)?
Mi principal interés es el caso en el que el grupo también está libre de torsión, por lo que estaría contento con una respuesta que pudiera abordar este caso.
Respuestas
El grupo de Higman está presentado de forma finita, superperfecto (incluso acíclico), ver aquí (ver también el Ejemplo 41 aquí ), y no contiene subgrupos de índice finito adecuados. El complejo de presentación estándar del grupo Higman es asférico y, por lo tanto, el grupo está libre de torsión (tiene dimensión cohomológica 2).