Análogo infinito-categórico de Hausdorff compacto

Question

Recientemente, a través de esta pregunta mathoverflow, me enteré del artículo Codensity and the ultrafilter mónada de Tom Leinster. Allí muestra que la mónada de ultrafiltro en la categoría$\mathrm{Set}$ surge del adjunto $$ \mathrm{Set} \rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathrm{FinSet}, \mathrm{Set})^{\mathrm{op}},$$donde el adjunto izquierdo viene dado por el coYoneda-incrustación (que tiene un adjunto derecho sigue ya sea por una construcción o por el teorema del functor adjunto). Además, se sabe que la categoría de espacios compactos de Hausdorff es monádica sobre$\mathrm{Set}$ y que la mónada correspondiente es también la mónada del ultrafiltro, exhibiendo la categoría de espacios compactos de Hausdorff como álgebras sobre esta mónada.

Moviéndose a $\infty$-categorías, es natural reemplazar $\mathrm{Set}$ por el $\infty$-categoría $\mathcal{S}$de espacios (o animae, como algunos lo llaman). Esto tiene el sub-$\infty$-categoría $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$de espacios finitos (es decir, la subcategoría finitamente cocompleta más pequeña que contiene el punto). Usando la incrustación de coYoneda y el teorema del functor adjunto, obtenemos nuevamente una adjunción$$\mathcal{S}\rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}, \mathcal{S})^{\mathrm{op}}.$$¿Se puede describir la mónada resultante y las álgebras sobre ella? Es un conocido$\infty$-¿categoría? Además, uno podría preguntarse sobre su relación con otros$\infty$-categorías, como espacios profinitos o espacios condensados.

Editar: Como señalaron Denis y Dustin, es mucho más natural reemplazar $\mathrm{FinSet}$ por el $\infty$-categoría de $\pi$-espacios finitos (en lugar de $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$), es decir, espacios cuyos grupos de homotopía se concentran en un número finito de grados y son finitos allí.

Answer 1

¡Buena pregunta! Creo que Barwick y Haine han pensado mucho más en esto, ¿y tal vez ya conocen la respuesta? Lo que digo a continuación es definitivamente conocido por ellos. También tenga en cuenta que he escrito lo siguiente en un flujo de conciencia, sin saber muy bien a dónde irá cuando comencé.

Escribiré "anima" para lo que se llama tipos / espacios de homotopía /$\infty$-groupoids / ..., y denotan su $\infty$-categoría $\mathrm{An}$($=\mathcal S$). También podemos considerar el$\infty$-categoría $\mathrm{CondAn}=\mathrm{Cond}(\mathrm{An})$de anima condensada (esto es, por cierto, también la animación de la categoría de conjuntos condensados). Si$X\in \mathrm{CondAn}$ es un anima condensada, entonces $\pi_0 X$ es un conjunto condensado, y para cualquier punto $x\in X$, se pueden definir grupos de homotopía $\pi_i(X,x)$ para $i\geq 1$, que son grupos condensados ​​(abeliano para $i\geq 2$). Un poco más en general, si$S$ es cualquier conjunto lucrativo y $g: S\to X$ es cualquier mapa, se puede definir un objeto de grupo $\pi_i(X,g)\to S$ en conjuntos condensados ​​sobre $S$, cuya fibra sobre cualquier $s\in S$ es $\pi_i(X,g(s))$. Entonces, un mapa de anima condensada es una equivalencia si y solo si induce una equivalencia en$\pi_0$ y todo $\pi_i$ para $i\geq 1$ (en todos los puntos base, incluidas las familias de puntos base profinitas).

Entonces, al igual que en una aproximación muy, muy cruda, un anima $X$ es algo así como la colección $\pi_0 X,\pi_1 X,\pi_2 X,\ldots$de un conjunto, un grupo y grupos abelianos, un anima condensado es algo así como una colección de un conjunto condensado, un grupo condensado y grupos abelianos condensados. En particular, ya$\pi_0 X$puede ser un espacio topológico interesante como una variedad, entonces un espacio. Por eso no decimos "espacio condensado", ya que entonces parecería que el olvido de los conjuntos condensados ​​debería olvidar la estructura del "espacio", sino que se olvida de la estructura de "homotopía abstracta".

Ahora lo siguiente parece obvio "$\infty$-Espacios de Hausdorff compactos de categoría ":

Definición. Un anima condensada$X$ es "Hausdorff compacto" si $\pi_0 X$ y todo $\pi_i X$ para $i\geq 1$ son compactos Hausdorff.

Recuerde aquí que los espacios compactos de Hausdorff se integran con total fidelidad en conjuntos condensados. La segunda afirmación significa más precisamente que para todos los conjuntos lucrativos$S$ con un mapa $g: S\to X$, el objeto de grupo $\pi_i(X,g)\to S$ en conjuntos condensados ​​sobre $S$es compacto Hausdorff. (Esto es un poco más fuerte que solo pedirlo en todas las fibras).

Entonces en este caso $\pi_0 X$ es un espacio compacto de Hausdorff, $\pi_1 X$ es un grupo compacto de Hausdorff, y $\pi_2 X,...$ son grupos abelianos compactos de Hausdorff.

Resulta que hay una bonita caracterización del ánima condensada "compacta de Hausdorff". De hecho, existe una noción topos-teórica general de objetos "coherentes" = "qcqs". Esto generalmente se estudia para$1$-topoi, pero se generaliza fácilmente a $n$-topoi. Básicamente, un objeto es casi compacto si alguna cubierta admite una subcubierta finita; está cuasiseparado si la diagonal es cuasicompacta; es 2-cuasiseparada si la diagonal está cuasiseparada; etc .; y coherente = cuasicompacto y$n$-quasiseparated para todos $n\geq 1$. Entonces, los conjuntos condensados ​​coherentes son exactamente espacios de Hausdorff compactos y:

Proposición. El ánima condensada coherente es exactamente el ánima condensada "compacta de Hausdorff".

Nota: en un $1$-topos, los objetos coherentes a menudo concuerdan con los objetos presentados finitamente, pero esto falla dramáticamente para $\infty$-topoi, donde la coherencia y la presentación finita son dos condiciones de finitud bastante diferentes. En el caso de anima, coherencia significa grupos de homotopía finitos, mientras que presentación finita debería significar generados bajo colímites finitos desde el punto; estas son nociones muy diferentes. Como ya se discutió en los comentarios, la condición de "grupos de homotopía finitos" parece más relevante para la pregunta.

Ahora tenemos una buena noción de "$\infty$-espacios de Hausdorff compactos y categóricos ". Sin embargo, la pregunta comenzó desde un ángulo diferente, es decir, tratando de describirlo a través de una mónada sobre ánima.

Proposición. El ánima condensada de Hausdorff compacta es monádica sobre ánima.

Esto se puede deducir de Barr-Beck-Lurie, aunque requiere algo de trabajo.

Queda por entender la mónada (y ver si se puede describir como una mónada de codensidad). La mónada toma un ánima$X$ a $\lim_{X\to Y} Y$ donde el diagrama está sobre todos los mapas de $X$ a una compacta ánima condensada de Hausdorff $Y$: Esto calcula el adjunto izquierdo deseado. Suponga por el momento que la categoría del diagrama es pequeña; entonces este límite sigue siendo un ánima condensada de Hausdorff compacta: el ánima condensada de Hausdorff compacta es estable bajo todos los límites pequeños, ya que son estables bajo límites finitos y todos los productos pequeños. Ahora bien, la categoría del diagrama no es realmente pequeña, por lo que hay que argumentar con un poco más de cuidado para ver la existencia del adjunto izquierdo.

Si $X$es en realidad un conjunto, entonces se puede demostrar que el adjunto izquierdo sigue siendo el mismo que de costumbre, dado por la compactación Stone-Čech. Esto es lo mismo que$\lim_{X\to Y} Y$ donde restringimos $Y$ser un conjunto finito. En última instancia, la posibilidad de restringir$Y$ a conjuntos finitos aquí, debido al hecho de que la compactación de Stone-Čech está totalmente desconectada, y los espacios compactos Hausdorff totalmente desconectados son pro-finitos, es lo que hace posible describir los espacios compactos Hausdorff en términos de la mónada de codensidad para $\mathrm{FinSet}\hookrightarrow \mathrm{Set}$.

El primer caso nuevo e interesante es $X=K(G,1)$, para algún grupo discreto $G$. Ignorando los grupos de homotopía superior, nos interesa el grupo compacto universal$H$ con un mapa $G\to H$. En general, esto se conoce como la "compactación de Bohr" de$G$. Si$G=\mathbb Z$, luego buscamos el grupo compacto libre en un generador. Esto es necesariamente abeliano, y luego se puede usar la dualidad de Pontrjagin para determinar realmente esto (espero no haberlo arruinado):$\prod_{\mathbb R/\mathbb Z}\mathbb R/\mathbb Z$, el producto de $\mathbb R/\mathbb Z$ (como un conjunto discreto) muchas copias del círculo $\mathbb R/\mathbb Z$, con su elemento tautológico "diagonal", y tomar el subgrupo cerrado generado por este elemento.

Lo que vemos en el ejemplo es que ya para el anima $X=K(\mathbb Z,1)$ (también conocido como el círculo), la mónada toma un valor extremadamente complicado (tenga en cuenta que estábamos ignorando los grupos de homotopía superiores, pero el cálculo de $\pi_1$es correcto), que en particular no está en sí mismo totalmente desconectado, por lo que no puede escribirse como un límite de ánima finita. Así que deduzco que estos "$\infty$-los espacios de Hausdorff compactos y categóricos "no se pueden describir de la forma en que comenzó la pregunta.

Esto, nuevamente, plantea la pregunta de qué son las álgebras para la mónada en la pregunta.

Bueno, no sé la respuesta precisa, pero también se puede considerar el ánima condensada "Hausdorff compacta totalmente desconectada", preguntando ahora que todos $\pi_i X$son Hausdorff compactos totalmente desconectados. Entonces$\pi_0 X$ es un juego lucrativo, $\pi_1 X$ es un grupo lucrativo, y $\pi_2 X,\ldots$ son grupos abelianos profinitos.

Proposición. "Hausdorff compacto totalmente desconectado condensado$n$-anima truncado "son equivalentes a la categoría Pro de $n$-anima truncada con grupos de homotopía finitos.

También se puede pasar al límite $n\to \infty$en cierto sentido, pero hay que tener cuidado, ya que esto no cambia exactamente con el paso a las categorías Pro. Todavía es cierto que cualquier ánima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada$X$ se asigna isomórficamente a la $\lim_{X\to Y} Y$ dónde $Y$ corre sobre ánima con grupos de homotopía finitos.

Ahora, el ánima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada ya no es monádica sobre el ánima, pero el functor olvidadizo todavía detecta isomorfismos y tiene un adjunto izquierdo, por lo que da lugar a una mónada sobre anima, y ​​el ánima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada se incrusta completamente fielmente en álgebras sobre esta mónada. Y esta mónada, por el último párrafo, se puede identificar con la mónada de codensidad para la inclusión$\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ de anima coherente (= anima con grupos de homotopía finitos) en todo anima.

Entonces, si no estoy arruinando esto, entonces la categoría de álgebras sobre esta mónada es una especie de casco de ánima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada (incluidas todas las realizaciones geométricas que están divididas en ánima subyacente); este casco está contenido en ánima condensada de Hausdorff compacta.

En resumen, si uno toma "ánima finita" en la pregunta para significar "grupos de homotopía finitos", entonces esto da lugar a una mónada cuyas álgebras se encuentran en algún lugar entre el ánima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada y todo el ánima condensada de Hausdorff compacta. Creo que definitivamente incluyen todos aquellos para los que$\pi_0 X$ es Hausdorff compacto arbitrario, pero $\pi_i X$ para $i\geq 1$ está totalmente desconectado.

Hmm ... OK, déjame hacer lo siguiente:

Conjetura: Álgebras sobre la mónada de codensidad para $\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ son exactamente esas animaciones compactas condensadas de Hausdorff $X$ por lo cual todos $\pi_i X$ para $i\geq 1$ están totalmente desconectados.

Estoy dispuesto a conjeturar esto por la siguiente razón: aunque uno puede obtener todos los espacios compactos de Hausdorff como cocientes de conjuntos profinitos por relaciones de equivalencia cerradas, nada de esto sucede para los grupos: un cociente de un grupo profinito por una relación de equivalencia cerrada sigue siendo un grupo lucrativo.