Antiderivada de poco o

Question

Esta pregunta ya se ha hecho, pero ninguna de las respuestas que encontré fue lo suficientemente correcta / completa.

por $x$ cerca de cero y $n>1$, es la antiderivada de $o(x^n)$ igual a $o( x^{n+1} )$ y como lo probamos

Pequeño $o$ Se define como:

$f$ es $o( g )$ cerca de cero si y solo si hay una función $u$ que tiende a cero cuando $x$ se acerca a cero y satisface $f = u g,$ o para cualquier $\epsilon >0$, existe algo $a>0$ tal que $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ cuando $0< |x| <a$

Usé ambas definiciones pero no pude llegar a ninguna parte, la integración por partes tampoco ayudó, sé que no es cierto para la derivada que: la derivada de $o(x^n)$ igual a $o( x^{n-1} )$ pero no estoy seguro de la integración.

Answer 1

Sí, no hay problema con esto, el punto clave es que la integración preserva las desigualdades (lo cual es muy falso para la diferenciación); eso es, si$f(x) \le g(x)$ luego $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

Más formalmente, si $f(x) = o(|x|^n)$, entonces por definición tenemos eso para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x| < \delta$ luego $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. Definir

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

Entonces para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x| < \delta$ luego $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, de ahí que

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

Entonces $F(x) = o(|x|^{n+1})$. Realmente no necesitábamos insertar el$n+1$ prefactor, pero es bueno hacer que el límite final sea exactamente lo que debe ser.