Aproximación de una transformada de Fourier

Jan 03 2021

Supongamos que la transformada de Fourier $\hat{f}(k)$ (con $k \in \mathbb{R}^d$) se da, y uno tiene la intención de obtener alguna información sobre su contraparte en el espacio de posición $f(x)$. Cuando el cálculo analítico de la transformada de Fourier inversa de$\hat{f}(k)$ no es posible, todavía se puede extraer información útil especializándose en regiones específicas de $k$espacio; por ejemplo, en física estadística, a menudo se acostumbra estudiar las propiedades "macroscópicas" de, por ejemplo, funciones de correlación, examinando$k\to 0$límite de sus transformadas de Fourier. Me parece que tal proceso es algo análogo a mirar la serie de Taylor de una transformada de Fourier , es decir, \ begin {ecuación} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {ecuación} Si uno trunca esta serie y luego intenta realizar en ella la transformación inversa de Fourier,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ en algunos casos, uno puede encontrar que el resultado diverge como $k\to\infty$. Sin embargo, en muchas teorías, y especialmente en las teorías de campo, existe un límite superior para$k$que determina el rango de validez de esa teoría; tal corte a menudo resuelve la posible divergencia de la transformada de Fourier inversa.

Pregunta ¿La función espacio-posición que se obtiene de la transformación inversa de la serie de Taylor truncada$\hat{f}_{\rm trunc}$, con algún corte $\Lambda$, aproxima la función original$f(x)$en algún sentido? De lo contrario, ¿existe una forma sistemática de obtener una forma tan aproximada a partir de su transformada de Fourier?$\hat{f}(k)$?

Respuestas

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

Cuando truncas la expansión de Taylor alrededor $0$, está diciendo que está interesado en modos con longitud de onda larga. A menudo, estos son los modos de larga duración, por lo que durante mucho tiempo describirán aproximadamente su sistema. En espíritu, es como hacer un granulado grueso: te olvidas de la dinámica microscópica rápida y retienes solo la información macroscópica. En un sentido más riguroso, uno tiene$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, entonces si la aproximación de su transformada de Fourier es buena en el $L^2$ sentido por lo que será la aproximación del espacio de posición $f(x)$.