Área del sub-triángulo dentro de un triángulo

Question

Dejar $ABC$ ser un triangulo de area $a$. El segmento$\overline{AB}$ se divide en $n$ puntos equidistantes y segmento $\overline{AC}$ se divide en $m$puntos equidistantes. Encuentra el área$b$ de triangulo $DEF$ en función del área $a$ (triángulo $ABC$), dónde $D$ es uno de los puntos equidistantes del segmento $\overline{AB}$ y $E$, $F$ son dos de los puntos equidistantes en el segmento $\overline{AC}$.

La siguiente imagen muestra un ejemplo donde, $n=3$, $m=4$, $D=2$, $E=1$ y $F=2$. El triángulo rojo representa el área que se encuentra en funciones de un triángulo más grande.

Answer 1

Esto usa un teorema chino cuyo nombre en inglés es aproximadamente el teorema de la cabeza de pájaro que nos dice que el área de $\triangle AXY$ dentro $\triangle ABC$ dónde $X$ Está encendido $AB$ y $Y$ Está encendido $AC$ es $[ABC]\cdot\frac{AX}{AB}\cdot\frac{AY}{AC}$. La prueba de esto es muy simple y debería tener sentido intuitivo si considera las proporciones de lados. Puede verse como una generalización del hecho de que cuando$X$ y $Y$ son puntos medios, $XY$ es la línea media y $[AXY]=\frac14[ABC]$.

Esto facilita mucho el problema y $[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F}{m+1}-[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{E}{m+1}=\boxed{[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F-E}{m+1}}$

Answer 2

Sugerencia: use la proporción de áreas de$2$triangulos. Usemos su diagrama para calcular el área roja y puede generalizarlo fácilmente. El área roja es la mitad del área del triángulo cuyos vértices en$0,2,2$ cuya zona es de nuevo es $\frac{2}{5}$ área del triángulo cuyos vértices están en $0,2,5$ y a su vez cuya área es la mitad del área del triángulo cuyos vértices están en $0,4,5$. Espero eso ayude.

Answer 3

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que $F$ entre mentiras $A$ y $E$. Recuerda que el área de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre estos lados. Por tanto, dado que los triángulos$DEF$ y $DEA$ tener un ángulo común $\angle E$ y lado común $DE$, sus áreas se relacionan como los lados adyacentes al ángulo $\angle E$, es decir $\frac{\operatorname{area}(\triangle DEF)}{\operatorname{area}(\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}$. También desde triángulos$DAE$ y $BAC$ tener un ángulo común $\angle A$, $\frac{\operatorname{area}(\triangle DAE)}{\operatorname{area}(\triangle BAC)}=\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}$. Finalmente,$$b=\operatorname{area}(\triangle DEA)=\frac{EF}{EA}{\cdot\operatorname{area} (\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}\cdot\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot {\operatorname{area}(\triangle BAC)}= \frac{EF}{EA}\cdot \frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot a.$$

Answer 4

Los puntos se etiquetan canónicamente de modo que $B \le D \le C$. Esto significa que si$D > C$, intercambiamos las etiquetas antes de aplicar la siguiente lógica.

Usando la fórmula de lado-ángulo-lado, calculamos el área de $\triangle ABD$ como

$$x = { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2}$$

Area de $\triangle ABC$:

$$y = { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2}$$

Area de $\triangle ADC = y – x$, dada por

$$y - x = { { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2} - { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2} } = {{AB sin(\theta)} \times (BC - BD) \over 2}$$

Proporción de áreas ($\triangle ADC$ / $\triangle ABC$) es dado por

$$BC - BD \over BD$$

Esto es cierto cuando $BC - BD > 0$. Cuando$BC - BD = 0$, la $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ y la relación es $1$.

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Noto que he usado una nomenclatura diferente para los triángulos de la que había usado el OP en el enunciado del problema y también el hecho de que el triángulo más grande tiene área $a$. Por coherencia en la prueba, permítanme llamar al triángulo exterior como$\triangle A'BC'$ (zona $= a$). Utilizando los mismos principios descritos anteriormente para calcular la razón de áreas de triángulos, la razón Área de$\triangle A'BC'$ y Área de $\triangle ABC$ es dado por

$$A'B \times BC' \over AB \times BC$$

Proporción de áreas ($\triangle ADC$ / $\triangle A'BC'$) es dado por

$${BC - BD \over BD} \div {A'B \times BC' \over AB \times BC}$$

$\therefore$, Zona $\triangle ADC$ es dado por

$${BC - BD \over BD} \times {AB \times BC \over A'B \times BC'} \times a$$

Sustituyendo $A'B = 4$ y $BC' = 5$, obtenemos

Zona $\triangle ADC$

$$ = \big( {BC - BD \over BD}\big) \times {AB \times BC \over 4 \times 5} \times a$$

Como se mencionó anteriormente, esto es cierto cuando $BC - BD > 0$. Cuando$BC - BD = 0$, la $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ y la razón (dada entre paréntesis) es $1$.

Nota: Solo un recordatorio, los lados son como se indica en la figura de esta respuesta (que son ligeramente diferentes de la nomenclatura utilizada por el OP).