Área total de círculos infinitos anidados en un triángulo equilátero.
Dado que el radio del círculo más grande es 1, ¿cuál es el área total de los círculos infinitos en la imagen de arriba?
Sé cómo resolver parte del problema, siguiendo los pasos de este sitio .
Pero el problema son los círculos restantes. Traté de hacer algo de álgebra usando un caso especial (donde uno de los círculos es una línea) del teorema de Descarte , pero no encontré ningún patrón para escribir una serie y luego encontrar la suma.
¿Cómo puedo encontrar el área de los círculos restantes, indicados en rojo en la imagen de abajo?
Respuestas
Según la teoría de los círculos de Ford, los círculos que se tocan satisfacen$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
En el caso del problema dado, cada círculo toca dos círculos únicos más grandes. Si nos concentramos en una sola rama del conjunto (un tercio de los círculos), el círculo central tiene radio$1$y el próximo círculo más grande tiene radio$1/3$por similitud. Su círculo de contacto tiene un radio.$1/(1+\sqrt3)^2$por la fórmula anterior.
Cada círculo puede ser representado por un par de números enteros$(m,n)$que es la suma de los índices de sus padres, y tiene radio$r_{n,m}$dada por$\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, utilizando la fórmula anterior. El siguiente diagrama representa solo una familia de círculos generados por el más grande$(1,0)$y el siguiente mas grande$(0,1)$. Cada vértice del árbol representa un espacio entre los círculos y cada borde representa la tangente que toca dos círculos.
$\hspace{2cm}$
La siguiente familia a la izquierda es generada por$(0,1)$y$(3,0)$porque cada circunferencia, con centro en la recta que va del centro del triángulo al vértice izquierdo, tiene radio$1/3^n$(representado por$(3^{n/2},0)$o$(0,3^{(n-1)/2})$).
tabular$1/\sqrt{r_{n,m}}$para la primera familia de círculos da:
Familia 1:$$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
El siguiente es un script de Mathematica para generar estos pares:
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(El círculo central se resta).
Un valor numérico para el área de la primera familia es$A_1\approx0.4550$.
El resto de familias son similares a la primera familia porque son versiones a escala de ellas. Por ejemplo, la segunda familia es generada por$(3,0)$y$(0,1)$, por lo tanto, es un tercio de la familia uno en tamaño (y el noveno en área).
Por lo tanto, el área total de una rama es$B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
La respuesta requerida para el área total es$3B+\pi$, añadiendo el círculo central. Una aproximación numérica de esta área es$4.68$, que acaba de terminar$90\%$de todo el triangulo.