Baje un politopo al agua $-$ ¿Los vértices del nivel del agua están conectados con los de la parte inferior?
Supongamos que tomamos un poliopo convexo$P$ y una cara $A$ con vértices $a_1,\ldots, a_n$. Sostenemos el politopo con$A$ al ras con la superficie y bájela lentamente, manteniendo $A$paralelo a la superficie en todo momento. Seguimos bajando hasta que el nivel del agua alcanza algún vértice$b_1$ no pertenecer a $A$. Entonces deja$b_1,\ldots, b_m$ser todos los vértices al nivel del agua. Me pregunto:
Es cada $b_i$ unido por un borde a algunos $a_i$?
Parece físicamente obvio. Pero también lo hacen muchos hechos sobre los politopos, como que las definiciones de desigualdades lineales / casco convexo son equivalentes.
Si considera la parte del politopo entre el nivel del agua y el plano atravesado por $A$ obtienes un politopo más pequeño $Q$. Esta$Q$ tiene todo $a_i,b_j$ como vértices, pero pueden tener vértices adicionales creados cuando los bordes de $A$pasar por el agua. Sin embargo, todos los vértices están contenidos en uno de los dos planos. Esto sugiere la siguiente pregunta quizás más sencilla.
Suponer $P_1,P_2$ son dos planos paralelos, y $P$ es un politopo cuyos vértices están en $P_1$ o $P_2$. ¿Está cada vértice en$P_1$ unido por un borde a un vértice de $P_2$?
Respuestas
La respuesta a su segunda pregunta es Sí (y también lo es la respuesta a la primera).
En general, para cada vértice de un politopo (de dimensión completa) $P\subset\Bbb R^d$, las direcciones de los bordes incidentes a ese vértice abarcan todo el $\Bbb R^d$.
Si un vértice en $P_1$ tendría bordes solo a otros vértices en $P_1$, entonces el tramo sería de dimensión $\le \dim(P_1)= d-1$, por lo tanto, no todos $\Bbb R^d$.