Base que determina una topología única
Cuando leo Topología de Munkres , tengo la sensación de que si tenemos una base$\mathscr{B}$ en un set $X$, entonces la base determina únicamente una topología en $X$; es decir, si tenemos dos topologías$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ con la misma base $\mathscr{B}$, entonces $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. No estoy seguro de tener razón porque no puedo ver esto en la definición, que es la siguiente:
Si $X$ se establece, una base para una topología en $X$ es una colección $\mathscr{B}$ de subconjuntos de $X$ (llamados elementos de base) de modo que para cada $x\in X$, hay al menos uno $B\in \mathscr{B}$ tal que $x\in B$ y si $x\in B_1\cap B_2$, dónde $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, entonces existe $B_3\in \mathscr{B}$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Además, la base $\mathscr{B}$ genera una topología
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ en U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ en B \ subconjunto U$}\right\}$,
que es la topología más pequeña que contiene $\mathscr{B}$. Por tanto, supongo que es probable que esas topologías cuyas bases son$\mathscr{B}$ debe ser igual a $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Por cierto, he consultado el artículo Unicidad de topología y base y uno de los comentarios (dejado por Henno) parece justificar mi corazonada y mencionaron cualquier conjunto abierto.$O$ es una unión de los elementos de $\mathscr{B}$, entonces $O$ ya está en la topología $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, pero como iban a saber $O$se puede escribir de esta manera simplemente por la definición de una base? Quiero decir, en el libro de Munkres, mencionó en el leme 13.1, según tengo entendido, que$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, como opuesto a decir que vale para cualquier topología con base $\mathscr{B}$. Quizás estoy malinterpretando en este punto.
¡¡Cualquier ayuda es muy apreciada!!
Respuestas
Decimos que topología $\mathcal T$ tiene base $\mathcal B$ Si $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Por lo tanto, es inmediato que si dos topologías tienen la misma base, entonces coinciden.
Diciendo eso por cada $x\in U$ hay una $B_x\in\mathcal B$ tal que $x\in B_x\subseteq U$ es equivalente a decir que $U$ es la unión de elementos de $\mathcal B$, específicamente $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Lo que quizás te estés perdiendo es eso
Un conjunto $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ es una base para una topología (es decir $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ es una topología) si y solo si se cumplen las condiciones dadas, es decir $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ y $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Partiría de la definición de topología como la colección de todos los conjuntos abiertos. Tenga en cuenta ahora que cada conjunto abierto se puede escribir como la unión de la teoría de conjuntos de cada elemento base que contiene un punto$x \in U$, es decir, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Tenga en cuenta ahora que, según los supuestos de una base de una topología, siempre puede tomar dos elementos básicos$B_1, B_2$ con intersección no vacía y encuentre un tercer elemento base en ellos (llámelo $B_3$). Sin embargo, la topología generada por la colección sin $B_3$y el que tiene $B_3$ es exactamente lo mismo y esto se debe a que la unión teórico-conjunto no cambia si sumamos un conjunto que ya se tiene en cuenta considerando los conjuntos $B_1$ y $ B_2$. Este es el significado de cuando Munkres escribe que la base de una topología no es como la base de un espacio vectorial. Entonces, desde este punto de vista, puede ver que dado que la unión de la teoría de conjuntos de todos los conjuntos abiertos (fijos) es un objeto único, entonces puede decir que una base determina la topología pero no lo contrario.