Calcule el momento angular total del objeto que gira alrededor de 2 ejes (por ejemplo, la Tierra)
Considere la Tierra. Gira sobre su propio eje (atravesando los polos) con cierta velocidad angular.$\vec\omega$, y alrededor del sol, con cierta velocidad angular $\vec\Omega$.
En cada libro de texto / página web que he visto hasta ahora, he visto que el momento angular debido a la órbita del sol se calcula por separado del momento angular debido a la rotación de la Tierra sobre su propio eje.
Excelente. Pero, ¿cómo obtengo el momento angular completo de la Tierra?
Soy consciente de la siguiente respuesta: Momento angular del cuerpo giratorio y giratorio (tierra) , pero no creo que responda a la pregunta. La respuesta usa una velocidad angular$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- pero, ¿cómo obtendrías esa velocidad si el objeto gira alrededor de 2 ejes? El teorema de rotación de Euler no se aplica porque uno de los ejes no está en el objeto.
Por lo tanto, volveré a plantear la pregunta: dada una velocidad angular en órbita $\vec\Omega$ y velocidad angular sobre el eje de la tierra $\vec\omega$, ¿cómo encontraría el momento angular total de la Tierra (o un objeto que exhibe una descripción de rotación similar con 1 eje de rotación en el cuerpo y el otro apagado)?
Respuestas
Primero, considere que el giro de la Tierra forma un ángulo con el eje orbital.
Aquí $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
La rotación combinada (dado el título sobre el eje x negativo de arriba) es
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
que se puede traducir a
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Lo interesante es que puedes calcular el centro instantáneo de rotación de la tierra en relación con la tierra. $(c_y,c_z)$ ($c_z$se muestra negativo a continuación). Este es el punto sobre el que gira la tierra.
Para encontrar el punto, calcule la velocidad orbital (el eje x positivo está fuera de la página)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
y luego el centro de rotación
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
lo cual es interesante considerando en unidades de distancia lunares (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
que es casi un LD hacia el sol siempre, y la mitad LD debajo de la tierra en el solsticio de verano, y la mitad LD sobre la tierra en el solsticio de invierno.
Ahora que la cinemática de la tierra está establecida, podemos hablar de dinámica.
La tierra gira con $\vec{w}$ y así su momento angular en el centro de la tierra es $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ dónde ${\rm I}_E$ es el momento de inercia de la masa de la tierra.
Pero dado que la Tierra también se está trasladando, tiene un momento lineal $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Para calcular el momento angular de la tierra alrededor del sol, combinamos ambas cantidades con la siguiente regla
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Si hace el cálculo, encontrará la mayor parte del momento angular a lo largo del eje z , con una pequeña componente a lo largo del eje y .
Lo interesante es que puedes encontrar la ubicación en el espacio por donde pasa el eje de percusión de la tierra. De manera similar a lo anterior, este punto es
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
El significado de este punto en el espacio es que si aplicaras un momento igual y opuesto $\vec{p}$a la tierra a través del centro de percusión, la tierra no solo dejaría de orbitar sino que también dejaría de girar . Puede eliminar toda la energía cinética de la tierra con un solo impulso a través de este punto. Detendría a la tierra en su camino.
Sorprendentemente, la regla para sumar dos velocidades angulares no depende de si el "eje de estas velocidades angulares" atraviesa el objeto o no, y si se cruzan o no.
La velocidad angular de un cuerpo no depende de su elección de marco de referencia inercial. Supongamos que tenemos una flecha pegada al cuerpo; en el momento$t_0$ esta flecha apuntaba a una estrella distante $A$; en el momento$t_1$ esta flecha apuntaba a otra estrella distante $B$Bueno, si es cierto, entonces lo es en todos los marcos de referencia inerciales. Y qué tan rápido cambia la orientación del cuerpo, no depende del marco de referencia (siempre que el marco de referencia sea inercial).
Ahora midamos la velocidad angular total de la Tierra. Primero es posible medirlo en el marco de referencia unido al Sol y girando de tal manera que la velocidad de la Tierra sea cero. Digamos que la velocidad angular de la Tierra en este marco de referencia es$\vec\omega$. La velocidad angular del marco de referencia es$\vec\Omega$, por lo que la velocidad angular total de la Tierra es $\vec\omega + \vec\Omega$. Es un vector que se dirige hacia la estrella polar, su magnitud es aproximadamente$1/86164sec$ - donde 86164 es el número de segundos en un día sideral, que es el período de rotación de la Tierra en relación con las estrellas distantes.
Ahora a la segunda parte de su pregunta: "En todos los libros de texto / páginas web que he visto hasta ahora, he visto que el momento angular debido a la órbita del sol se calcula por separado del momento angular debido a la rotación de la Tierra sobre su propio eje. "
Esta vez, el marco de referencia está unido al Sol y es inercial. Una forma "justa" de calcular el momento angular total de la Tierra en este marco de referencia es dividir la Tierra en muchas partes pequeñas, calcular el momento de cada parte y resumir los resultados. Una forma más fácil sería calcular el impulso alrededor del centro de masa de la Tierra, que calcular el impulso de la Tierra como si toda su masa estuviera ubicada en su centro de masa y sumar estos dos vectores. El resultado total sería el mismo: es un simple teorema matemático.
Tenga en cuenta que el impulso debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje es mucho menor que el impulso debido a la rotación de la Tierra alrededor del Sol. Más importante aún, no solo el momento total de Erath (que es la suma de estos dos vectores) es constante en el tiempo, ¡cada uno de estos componentes es constante en sí mismo! (ignoramos la influencia de la Luna y otros planetas). Por lo tanto, si desea calcular los detalles de cómo la velocidad de la Tierra depende de la distancia al Sol (leyes de Keppler), puede ignorar con seguridad la parte de "rotación alrededor del propio eje" del momento angular de la Tierra.