Caracterización de espectros discretos automórficos
Recientemente aprendí sobre la descomposición espectral automórfica del libro "Descomposición espectral y series de Eisenstein" de Moeglin y Waldspurger. (Déjame llamarlo MW)
Tengo una pregunta sobre la caracterización de espectros discretos.
Permítanme explicar la notación básica como en MW.
Dejar$G$ser un grupo reductivo conexo sobre campo algebraico$k$y$\xi$ser un carácter unitario de$Z_G(A)$.
Dejar$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ser$L^2$-funciones en$G(k)\setminus G(A)$con carácter central$\xi$.
Después,$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$se descompone en el espacio generado por los residuos iterados de la serie de Eisenstein y su complemento, que se describe mediante integrales directas de la serie de Eisenstein. (MW, IV 2.1)
Déjame llamar al primer espacio$L^2_d$.
(Creo que$L^2_d$es el cierre del tramo de$L^2$formas automórficas en$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
Permítanme llamar a la parte semisimple, es decir, la suma directa de Hilbert de subrepresentaciones topológicamente irreducibles de$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, por un nombre$L^2_{ss}$.
Definición de espectro discreto y continuo y propiedades básicas
En el artículo anterior, se llama espectro discreto.
mis preguntas son
- Son$L^2_d$y$L^2_{ss}$¿lo mismo?
- Si es así, ¿cómo probarlo? ¿Podemos demostrarlo mediante análisis funcional elemental (por ejemplo, el conocimiento del libro "Análisis funcional" de Walter Rudin) como la demostración del teorema de Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro, es decir, como en el caso de la cúspide?
Creo que es obvio que$L^2_d$contiene$L^2_{ss}$, pero me pregunto si lo contrario es cierto. Agradecería alguna pista para resolver esta duda. ¡Gracias!
Editado: agregué una pregunta más y una definición de$L^2_{ss}$en línea con los comentarios. ! Gracias por los comentarios!
Respuestas
Es cierto por admisibilidad de$L^2_{d}$.
reclamo 1. $L^2_{d}$es admisible.
Bosquejo de la prueba
Si el tipo K es fijo, hay posibilidades finitas de caracteres infinitesimales de formas automórficas con el tipo K y en$L^2_{d}$, por el teorema de admisibilidad de Harish-Chandra para representaciones cuspidales y construcciones de residuos de series de Eisenstein. (cf. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
Entonces, nuevamente por el teorema de admisibilidad de Harish-Chandra, el espacio$L^2_{d}$es admisible.
reivindicación 2 Representaciones unitarias admisibles de G($\mathbb{A}$) son semisimples.
Bosquejo de la prueba
Basta mostrar que todas las representaciones unitarias admisibles distintas de cero tienen una subrepresentación irreducible. (Entonces se sigue por el lema de Zorn.)
Sea$\pi$sea una representación unitaria admisible distinta de cero. Entonces, hay un conjunto finito de tipos K$\mathcal{F}$tal que$\mathcal{F}$-parte tipica de$\pi$, decir$\pi_\mathcal{F}$es distinto de cero.
Dejar$e_\mathcal{F}$sea el idempotente correspondiente en el álgebra de Hecke de G,$\mathcal{H}(G)$, y deja$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ser$e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$(cf. Corvallis p183, artículo de Flath y Capítulo I de Knapp-Vogan.)
Entonces$\pi_\mathcal{F}$tiene subrepresentación irreducible,$\rho_\mathcal{F}$de$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$y genera G($\mathbb{A}$)-subespacio$\rho$.
Afirmamos que$\rho$es irreductible.
De lo contrario,$\rho$descompone la suma directa de dos subespacios cerrados propios$\rho_{1}$y$\rho_{2}$.
Proyectando en$\rho_\mathcal{F}$, cualquiera de$(\rho_i) _\mathcal{F}$es distinto de cero. Por irreductibilidad de$\rho_\mathcal{F}$, cualquiera de$(\rho_i)$es igual$\rho$y contradicción. (Para completar esta prueba, debemos usar algún análisis funcional, por ejemplo, ver 1.6.6 de los grupos reductivos reales de Wallach).