Casi todos los mapas lineales$V\rightarrow V$(en un cierto subespacio afín de dichos mapas) es invertible
Estoy escribiendo un papel. Hay un resultado sobre el que quiero ser riguroso, pero no estoy exactamente seguro de cómo. Aquí está la configuración:
Tengo algo de espacio euclidiano real.$V$que es isomorfo a$\mathbb{R}^n$. Considere el conjunto de todos los mapas lineales$\operatorname{L}(V)$de$V$a sí mismo, que es isomorfo al conjunto de$n\times n$matrices sobre$\mathbb{R}$. Este también es un espacio euclidiano real y es isomorfo a$\mathbb{R}^{n^2}$. Finalmente, deja$A\subset\operatorname{L}(V)$ser algún subespacio afín que no contenga el origen. (En mi artículo, este es esencialmente el espacio afín de todos los mapas lineales$f:V\rightarrow V$satisfactorio$f^*(v)=v$para alguna elección fija de vector distinto de cero$v\in V$.)
Lo que quiero decir es esto: " Casi todos los mapas en$A$son invertibles (en el sentido de que, con respecto a la medida de Lebesgue inducida en$A$, el conjunto de mapas no invertibles tiene medida cero). "
Esto es ciertamente cierto. Pero mi coautor no está convencido de que esto sea tan trivial como creo que es, y le gustaría que proporcionemos un razonamiento 'riguroso' para esto.
Mi razonamiento: Podemos considerar$A$como un subespacio afín de$\mathbb{R}^{n^2}$. el determinante$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$es un polinomio, y por lo tanto$\operatorname{det}$es constante en$A$o el conjunto de ceros en$A$tiene medida cero. El resultado deseado se sigue de la observación de que una transformación lineal es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
¿Es este razonamiento válido? ¿Hay algo accesible que pueda citar aquí?
Aparte, quería mencionar de dónde viene esto. En la teoría de la información cuántica, un canal cuántico es un mapa lineal$\Phi:M_m\rightarrow M_m$eso es completamente positivo y conserva rastros. En particular, cada canal cuántico también es hermitiano , por lo que podemos verlo como un mapa lineal en el conjunto de$m\times m$Matrices hermitianas, que es un espacio euclidiano real. Lo que quiero decir es lo siguiente: Casi todos los canales cuánticos son invertibles como mapas lineales. (Aunque, el mapeo inverso generalmente no es también un canal).
Respuestas
Aquí hay una forma de hacer esto en su caso. estas mirando$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$dónde$v$es un vector distinto de cero. Extender$v$a una base. Entonces con respecto a esta base$T\in A_v$si tiene una matriz de la forma$$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$dónde$B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
Así que has identificado$A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$y$T\in A_v$es invertible si$\det B \neq 0$. Entonces es el complemento del conjunto cero de un polinomio en$\mathbb R^{n^2-n}$y por lo tanto tiene medida$0$.
EDITAR: Veamos su problema en un marco más general donde$V$es un espacio vectorial sobre un campo infinito$k$y haces la misma pregunta.$L(V)=M_n(k)$está equipado con topología Zariski. Es fácil ver eso$M_n(k)$es irreductible. Entonces, cualquier conjunto abierto no vacío es denso. En particular$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$es un subconjunto abierto denso. Ya que$A \subset M_n(k)$es un subespacio lineal afín, también es irreducible. Así que si$A\cap GL_n(k)$es no vacío, entonces es un subconjunto abierto denso de$A$. El resultado es que la existencia de un mapa invertible te da densidad de mapas invertibles en ese subespacio afín.