Categorías monoidales cuyo tensor tiene un adjunto izquierdo
¿Hay un nombre para las categorías monoidales? $(\mathscr V, \otimes, I)$ tal que $\otimes$ tiene un adjunto izquierdo $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? ¿Se han estudiado en alguna parte? ¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes?
Un par de observaciones: cuando $I : 1 \to \mathscr V$ tiene un adjunto izquierdo, entonces $\mathscr V$es semicartesiano, es decir, la unidad es terminal. Cuándo$\otimes$ tiene un adjunto a la izquierda, que es además la diagonal $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, luego $\mathscr V$ tiene productos binarios.
Desenvolveré la definición aquí para hacer la estructura más explícita. Dejar$(\mathscr V, \otimes, I)$ ser una categoría monoidal. $\otimes$ tiene un adjunto izquierdo si tenemos lo siguiente.
- endofunctores $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ y $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- por cada par de morfismos $f : \ell(X) \to Y$ y $g : r(X) \to Z$, un morfismo $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- por cada morfismo $h : X \to Y \otimes Z$, morfismos $h_\ell : \ell(X) \to Y$ y $h_r : r(X) \to Z$,
tal que, para todos $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ y $z : Z \to Z'$, tenemos $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Respuestas
Solo para limpiar el $\epsilon$de espacio que queda después de la respuesta de Qiaochu, podemos deshacernos de las hipótesis adicionales. Escribiré$I$ para la unidad monoidal y $1$ para el objeto terminal.
Asumir que $(\ell,r) \dashv \otimes$. Entonces los isomorfismos naturales$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ dar lugar, por adjunción, a mapas $\ell A \to I$ y $r A \to I$, natural en $A$. También tenemos un mapa de unidades$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, natural en $A$. Tensando y componiendo, obtenemos un mapa$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, natural en $A$. Es decir, tenemos un cocone (con vértice$I$) en el functor de identidad para $V$. De ello se deduce que en la culminación idempotente$\tilde V$ de $V$, hay un objeto terminal (que debe ser una retracción de $I$).
Ahora, la culminación idempotente $\tilde V$ nuevamente tiene una estructura monoidal $\tilde \otimes$ con un adjunto izquierdo $(\tilde \ell, \tilde r)$. Entonces, la primera parte del argumento Eckmann-Hilton de Qiaochu se puede ejecutar en$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (en la tercera expresión, los productos existen trivialmente, y en la cuarta el producto existe porque $\otimes$conserva los productos). Es decir, debemos tener$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Pero$I_{\tilde V}$ es la imagen de $I_V$ en $\tilde V$, y la inclusión en la compleción idempotente refleja objetos terminales. Por lo tanto$V$ tiene un objeto terminal, y $1_V = I_V$.
Luego, como se observa en los comentarios anteriores, la segunda parte del argumento Eckmann-Hilton de Qiaochu se puede ejecutar en $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (en la segunda expresión, los productos existen trivialmente, y en la tercera el producto existe porque $\otimes$conserva los productos). Es decir, existen productos binarios en$V$ y estoy de acuerdo con $\otimes$. De hecho, el funtor de identidad es un funtor monoidal oplax de$(V,\otimes)$ a $(V,\times)$, que según el argumento es realmente monoidal fuerte. Por lo tanto$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ como categorías monoidales.
Si $\otimes : V \times V \to V$ tiene un adjunto izquierdo y $V$ tiene productos finitos entonces $\otimes$ los conserva en el sentido de que el mapa natural
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
es un isomorfismo. Por una versión monoidal-categórica del argumento de Eckmann-Hilton, me parece que esto implica que$\otimes$es el producto. Explícitamente, si dejamos$1_{\times}$ denotar el objeto terminal y $1_{\otimes}$ denotamos la unidad monoidal entonces obtenemos isomorfismos
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
entonces $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(y este isomorfismo es único si existe, por lo que ni siquiera tenemos que preocuparnos tanto por la naturalidad). Ahora podemos eliminar los escandalosos subíndices y simplemente referirnos a$1$. Esto le da un isomorfismo natural.
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
para cualquier $X, Y$. En realidad, no estoy seguro de si este argumento muestra que el asociador y unitor de$\otimes$ coincidir con el asociador y unitor del producto, pero supongo que una versión más elaborada de este argumento lo hace.
No se si es posible que $V$no tiene productos finitos. (Anteriormente había un argumento aquí relacionado con la convolución de día, pero Tim ha señalado lagunas en los comentarios).