Cintas incrustadas e isotopía regular

Question

Estoy leyendo el artículo de Kauffman de 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sobre los nudos que son isotópicos a través de sólo movimientos Reidemeister Tipo II y III, que se conoce como isotopía regular. Su artículo afirma que existe una relación entre la isotopía regular y las bandas incrustadas ($S^1 \times [0,1]$) en $S^3$. Se refiere al libro de texto de Burde's Knots, pero no puedo encontrar ninguna mención de isotopía regular, porque parece que Kauffman acuñó esa frase en el periódico, después de que se escribió el texto de Burde.

Creo que una isotopía regular de nudos corresponde a una banda incrustada. Sin embargo, me preocupa que pueda haber una patología que estoy pasando por alto. ¿Alguien tiene una declaración precisa de la relación?

Answer 1

De cualquier diagrama de nudos, se puede obtener un nudo enmarcado tomando el "marco de pizarra". El punto de isotopía regular de los diagramas de nudos es que conserva este marco de pizarra. Dado que los nudos enmarcados y las bandas incrustadas son lo mismo, la isotopía regular también preservará la banda incrustada correspondiente al encuadre de pizarra del diagrama de nudos.

Supongo que esto se discute con más detalle en Burde, tal vez en términos de nudos enmarcados. También es posible que Burde no discuta en absoluto los nudos enmarcados, ya que creo que la gente se interesó mucho más por ellos después del descubrimiento del polinomio de Jones / Chern-Simons TQFT. Y estoy de acuerdo: creo que Kauffman acuñó el término "isotopía regular", por lo que probablemente no se use en Burde.

Answer 2

Esto es más un comentario que una respuesta, pero espero que sea de ayuda. Existe una noción mucho más antigua y mejor estudiada de homotopía regular . Dejar$X$ y $Y$ ser colectores suaves y dejar $f,g\colon X \rightarrow Y$ser inmersiones. Luego$f$ y $g$ son regularmente homotópicos si son homotópicos por inmersión.

Centrémonos en las clases de inmersiones de homotopía regulares. $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Tal inmersión es lo que se obtiene de un diagrama de nudos al olvidar los cruces arriba / abajo. No es difcil ver que si$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ son inmersiones regularmente homotópicas con auto-intersecciones transversales, entonces $f$ se puede transformar en $g$por una secuencia de los análogos obvios de los movimientos de Reidemeister II / III. Sin embargo, no puede realizar un análogo de un Reidemeister I move ya que en el momento en que aprieta el bucle, la derivada tiene que desaparecer, por lo que no es una homotopía regular.

Supongo que esto es en lo que estaba pensando Kauffman. Por cierto, clases regulares de inmersiones de homotopía.$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$se puede clasificar completamente. Tomando la derivada de tal inmersión y reescalando para hacer que la derivada tenga una unidad de longitud, obtienes un mapa asociado$S^1 \rightarrow S^1$. El grado de este mapa se llama grado de inmersión y el teorema de Whitney-Graustein dice que este grado es invariante completo. Este teorema es un precursor temprano del teorema de inmersión de Hirsch-Smale, que para el caso especial de inmersiones$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ incluye las famosas "eversiones de esfera" de Smale que le dan la vuelta a la esfera.

Answer 3

Se dibuja un diagrama en el plano. Restringir a nudos (no enlaces). Oriente la curva y asocie a cada cruce un (+/-) mediante una regla de la mano derecha: palma a lo largo del cruce con el meñique apuntando hacia el rizo de orientación a + cruce inferior. Pulgar arriba = signo +. Suma de todos los cruces. Este es el retorcerse. Wrhe determina la autoenlace del nudo con un empuje. Dibuja \ infty +, \ infty- y 0. \ infty + tiene el arco con pendiente + como sobrearco. Dibuje una curva de empuje en el plano y calcule el número de enlace <- cálculo complicado, lo mejor es usar movimientos RI para formar el enlace Hopf. El nudo y un empuje unieron un anillo. Si el # de autoenlace del nudo es 0, entonces el anillo se extiende a una superficie Seifert. El empuje define una longitud preferida. Pero, en general, la curva enmarcada en pizarra tiene autovinculación = retorcerse. Con una curva \ alpha - \ gamma puede dibujarla de 4 formas. 2 tienen 0 retorcimientos, 1 tiene +2, el otro -2. Los que tienen 0 se retuercen son regularmente homotópicos a los que se desanuda. Los otros 2 requieren movimientos de tipo I. En algún lugar de Kauffman verás un truco de Whitney. La curva alfa-gamma tiene 1 pliegue hacia afuera y 1 pliegue hacia adentro. Hay curvas alfa-alfa y curvas gamma-gamma: dos o dos resp. En cualquier caso, el retorcimiento se puede arreglar como un cable telefónico o se puede cancelar. Los casos de cancelación son complicados. Allí, los diags están en S ^ 2. Por ejemplo, el bigón delimitado en el caso de gamma gamma está en el exterior. Es por eso que necesita realizar la isotopía enmarcada en S ^ 3 en lugar de R ^ 3. [! [0 y - / + curvas infinitas