Clasificación de grupos de Lie compactos (no necesariamente conectados)
Estoy buscando una clasificación de grupos de Lie compactos (no necesariamente conectados). Claramente, todos estos grupos son extensiones de un "grupo de componentes" finito$\pi_0(G)$ por un grupo de Lie compacto conectado $G_0$: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} La clasificación de los grupos de Lie compactos conectados me es familiar, por lo que mi La cuestión es cómo clasificar tales extensiones.
ACTUALIZACIÓN: sospecho que lo siguiente es cierto (debido a @LSpice, con mi requisito adicional de que $H$, $P$ son finitos):
Hipótesis :$G$ siempre se puede escribir como $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ para grupos finitos $H,P$, dónde $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.
ACTUALIZACIÓN 2: @LSpice ha demostrado esto a continuación para el requisito más débil que$P$ se cruza $G_0$ dentro $Z(G_0)$, y proporcionó un contraejemplo donde $P$ no puede tomarse como central.
ACTUALIZACIÓN 3: consulte Clasificación mejorada de grupos de mentiras compactos para una pregunta de seguimiento (que no escribiré aquí para evitar un desorden excesivo).
Una afirmación menos útil de mi pregunta original: cualquiera de esos $G$ se puede construir a partir de $G_0$ en tres pasos:
Toma el producto directo de $G_0$ con un grupo finito.
Cociente del resultado por un subgrupo finito de su centro.
Extiende un subgrupo finito de $\mathrm{Out}(G_0)$ por el resultado.
(El paso 3 siempre puede ser que no sea un producto semidirecto en general).
Respuestas
$\DeclareMathOperator\U{U}$Considere las matrices $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Estos pertenecen al grupo finito de matrices de permutación con signo, por lo que el grupo que generan es finito. Poner$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Desde$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ y $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, el grupo $G$ generado por $G_0$, $u$, y $v$ posee $G_0$como su componente de identidad. Ahora deja$G_0 \rtimes H \to G$ ser cualquier cobertura que se restrinja a la inclusión $G_0 \to G$, y deja $\tilde u$ ser un elemento de $H$ cuya imagen se encuentra en $u G_0$; decir que la imagen es$u d(z, w)$. Luego$\tilde u^2$ mapas a $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, entonces $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ yace en $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Si$\tilde v$ es un elemento de $H$ cuya imagen se encuentra en $v G_0$, luego $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ yace en $d(1, -1) \rtimes H$, por lo tanto no es igual $d(-1, 1) \rtimes H$. Es decir,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ no es central en $G_0 \rtimes H$.
Lo que podemos hacer es encontrar (en general, no solo para el ejemplo específico anterior) un subgrupo finito $H$ de $G$ tal que el mapa de multiplicación $G^\circ \times H \to G$ es sobreyectiva, y su núcleo centraliza $G^\circ$. (En el ejemplo específico anterior, podríamos tomar$H = \langle u, v\rangle$.)
$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Para probar esto, usaré algunas piezas de la teoría de la estructura:
- Todos los toros máximos en $G$ están $G^\circ$-conjugado.
- Todos los subgrupos de Borel de $G_\C$ están $G^\circ_\C$-conjugado.
- Por cada toro máximo $T$ en $G$, el mapa $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ es un isomorfismo.
- Si $G\scform$ y $(G_\C)\scform$ son las cubiertas simplemente conectadas de los grupos derivados de $G^\circ$ y $G^\circ_\C$, luego $(G\scform)_\C$ es igual a $(G_\C)\scform$.
- Cada grupo de Lie compacto tiene un subgrupo finito que cumple con todos los componentes .
Solo necesito (4) para demostrar que, por cada toro máximo $T$ en $G$, el mapa de $T$ al conjunto de elementos fijos por conjugación de $T/\Zent(G^\circ)$es sobreyectiva. Este es probablemente un hecho bien conocido por derecho propio para los teóricos de los grupos reales.
Ahora considere triples $(T, B_\C, \X)$ como sigue: $T$ es un toro máximo en $G$; $B_\C$ es un subgrupo Borel de $G^\circ_\C$ conteniendo $T_\C$, con un conjunto resultante de raíces simples $\Delta(B_\C, T_\C)$; y$\X$ es un conjunto que consta de un rayo real en cada espacio raíz simple complejo (es decir, el conjunto de múltiplos reales positivos de algunos no-$0$vector). (Perdón por el par de modificadores "complejo simple".) Llamaré a estos 'pines', aunque no concuerda con la terminología habitual (donde elegimos vectores raíz individuales, no rayos). Yo reclamo que$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ actúa simplemente de forma transitiva sobre el conjunto de pines.
Una vez que tenemos la transitividad, la libertad es clara: si $g \in G^\circ$ estabiliza un par $(T, B_\C)$, entonces se encuentra en $T$, y así estabiliza todos los espacios radiculares complejos; pero luego, para que estabilice alguna elección de rayos$\X$, tiene que tener la propiedad que $\alpha(g)$ es positivo y real para cada raíz simple $\alpha$; pero también$\alpha(g)$ es una norma$1$ número complejo, por lo tanto trivial, para cada raíz simple $\alpha$, por lo tanto, para cada raíz $\alpha$, así que eso $g$ es central.
Para la transitividad, ya que (1) todos los toros máximos en $G$ están $G^\circ$-conjugar, entonces (2) por cada toro máximo $T$ en $G$, el grupo Weyl $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ actúa transitivamente sobre los subgrupos Borel de $G^\circ_\C$ conteniendo $T_\C$y (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ es un isomorfismo, basta con mostrar que todos los conjuntos posibles $\X$son conjugados. Este es el argumento que se me ocurrió para demostrar que son incluso$T$-conjugado; Creo que probablemente se pueda hacer mucho menos incómodo. Arreglar una raíz simple$\alpha$, y dos no$0$ elementos $X_\alpha$ y $X'_\alpha$del espacio raíz correspondiente. Entonces hay un número real positivo$r$ y una norma$1$ Número complejo $z$ tal que $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Elija una norma$1$ Número complejo $w$ tal que $w^2 = z$. Entonces hay un elemento único$s\adform$ de $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ tal que $\alpha(s\adform) = w$, y $\beta(s\adform) = 1$ para todas las raíces simples $\beta \ne \alpha$. Por (4), podemos elegir un ascensor$s\scform$ de $s\adform$ a $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, que necesariamente radica en la preimagen $(T_\C)\scform$ de (la intersección con el subgrupo derivado de) $T$, y pon $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Luego$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ y, de manera similar, $\beta(t\scform) = 1$ para todas las raíces simples $\beta \ne \alpha$. Ahora la imagen$t$ de $t\scform$ en $G^\circ_\C$ yace en $T_\C$ y se fija por conjugación, por lo tanto, se encuentra en $T$; y$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ yace en el rayo a través de $X'_\alpha$.
Desde $G$ también actúa sobre el conjunto de pines, tenemos un mapa bien definido $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ que se restringe a la proyección natural en $G^\circ$. Ahora$\ker(p)$ cumple con todos los componentes, pero contiene $\Zent(G^\circ)$, por lo que no necesita ser finito. Aplicar (5) al grupo de Lie$\ker(p)$ produce el subgrupo deseado $H$. Tenga en cuenta que, como se solicita en su clasificación mejorada , la conjugación por cualquier elemento de$H$ arregla un pinning, por lo tanto, si es interno, debe ser trivial.