Cohomología de Bredon de una acción de permutación en $S^3$

Question

He visto un par de preguntas similares que solicitan verificar los cálculos de la cohomología de Bredon aquí y aquí , así que yo mismo haré una de esas preguntas.

Dejar $\mathbb{Z}/2$ guiarse por $S^3\subset \mathbb{C}^2$ por restricción de una acción de permutación en $\mathbb{C}^2.$ Quería calcular la cohomología de Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$

Tengo una descomposición celular basada en una descomposición de complejos $1$-disco dimensional en $3$ células: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Aquí $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ y $D$ es el interior de $\mathbb{D}.$ Entonces tenemos una descomposición de $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ en celdas compatibles con el $\mathbb{Z}/2$ acción.

El conjunto de puntos fijos de una acción es un círculo dado por $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Dado que la categoría de órbita de $\mathbb{Z}/2$ consiste en $*$ y $\mathbb{Z}/2$ existen las siguientes cadenas equivariantes: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {celdas correspondientes a} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ veces D \\ \ hline \ end {array}

Entonces parece que las monedas valoradas en $\underline{\mathbb{Z}}$ son:

\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Desde$(T\times T)^*=0$ en cochains, tenemos $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Diferencial $d_1$ es un isomorfismo ya que $\partial(D\times *)=T\times *.$ Parece que $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$

Me resulta un poco extraño que el cociente sea una esfera homológica. Seguro, el grupo$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ ya que la orientación se conserva, pero tal vez me haya perdido algunos $2$-torsión en grados más bajos?

Answer 1

Tu respuesta final es correcta, pero la estructura celular que estás usando no es una $G$-Estructura CW: $T\times T$ no se puede utilizar como celda de esta manera.

Lo abordaría así: La acción de $G = {\mathbb Z}/2$ en $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ se puede escribir como la representación $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, dónde $G$ actúa trivialmente en $\mathbb{C}$ y por negación en $\mathbb{C}^\sigma$. La esfera$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ es también la compactificación de un punto $S^{1+2\lambda}$, dónde $\lambda$ denota la línea real con $G$actuando por negación. Esto tiene un$G$-Estructura CW con

1. uno $G$-célula 0 fija,
2. uno $G$-fija de 1 celda,
3. uno $G$- 2 celdas gratis, y
4. uno $G$-3 celdas libres,

para que la skeleta sea $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$y $S^{1+2\lambda}$. Desde aquí puede averiguar que el$\underline{\mathbb{Z}}$-complejo de cadenas es $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$

Una forma de comprobar que la respuesta es correcta es escribir $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ y luego use el cálculo conocido del $RO(G)$-cohomología graduada de un punto (originalmente debida a Stong (inédita), ya publicada en varios lugares).