¿Cómo adjuntamos un $2$-¿celda?

Question

Este es un problema de la topología algebraica de Hatcher

"Calcule la homología del espacio obtenido de $D^2$ eliminando primero los interiores de dos subdiscos separados en el interior de $D^2$ y luego identificando los tres círculos límite resultantes juntos a través de homeomorfismos preservando las orientaciones de estos círculos en el sentido de las agujas del reloj ".

Encontré una solución aquí https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. En la foto se puede ver que la solución usa una estructura CW y dijo que$2$-celda $U$ se adhiere a la palabra $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Mi pregunta es: ¿Por qué?

Me parece más racional adjuntar $U$ a $abab^{-1}cac^{-1}$ya que queremos que los 3 círculos estén en el sentido de las agujas del reloj. Puedo entender vagamente el procedimiento: comenzamos en$x$, luego damos la vuelta $a$, ahora pasamos por $b$ para llegar al círculo interior desde el exterior, y luego damos la vuelta $a$ de nuevo, luego hacemos lo mismo para $c$. Pero, ¿por qué vamos en sentido contrario a las agujas del reloj cuando llegamos al interior?

Answer 1

Piensa en ti mismo sentado adentro $U$y piensa en cómo se envuelve el límite. Empiezas desde arriba$x$ luego haga un viaje en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo exterior ($a$), luego un paseo por el segmento $b$ (ahora has hecho $ab$) luego una caminata en sentido antihorario a lo largo del círculo interior izquierdo ($aba^{-1}$), luego de vuelta $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) etc.

El punto es que cuando estás dentro $U$los paseos a lo largo de los círculos interiores son en sentido antihorario; en dirección opuesta a la caminata alrededor del círculo exterior. Solo recuerda que el interior de$U$ siempre está del mismo lado que uno camina a lo largo de su límite.