¿Cómo calcular la expectativa de este problema?
Asume que hay $n+1$ nodos $V = \{v_0,v_1,\dots,v_n\}$, y cada nodo $v_i$ tiene un valor $f_i$ y el peso entre $v_0$ y cada nodo $v_i \in \{v_1,\dots,v_n\}$ es $w_{0i}$. Tanto los valores como los pesos se toman de$[0,1]$ uniforme e independientemente.
La diferencia entre $v_0$ y $v_i$ Se define como $$\delta_i := w_{0i} \cdot |f_0-f_i|, \quad i = 1,\ldots,n.$$ Suponer que $10$ divide $n$ y denotar por $V' \subset V$ el conjunto de $\frac{9}{10}n$ nodos para los cuales $\delta_i$es el más pequeño. Entonces me pregunto cómo se puede calcular la expectativa$$\mathbb{E}\left[\sum_{v_j \in V'}w_{0j} \cdot |f_0-f_i|\right].$$
Respuestas
No entiendo la afirmación "y la diferencia entre nodo $v_j \in V'$"pertenece al último $90\%$ menos diferencia.
De todos modos, la expectativa debería ser la siguiente:
\begin{align*} \mathbb{E}\left[\sum_{v_j\in V'} w_{0j} \lvert f_0 - f_j \rvert \right] & = \sum_{v_j\in V'} \mathbb{E}\left[ w_{0j} \lvert f_0 - f_j \rvert \right] \\ & \stackrel{(a)}{=} \sum_{v_j\in V'}\mathbb{E}\left[ w_{0j}\right] \mathbb{E}\left[\lvert f_0 - f_j \rvert \right] \\ & \stackrel{(b)}{=} \sum_{v_j\in V'} \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \\ & = \sum_{j=1}^{\frac{9}{10}n} \frac{1}{6} \\ & = \frac{3}{20}n, \end{align*}
dónde $(a)$ se mantiene por la independencia, mientras $(b)$ aguanta porque $\mathbb{E}[w_{0j}] = 1/2$ y porqué
\begin{align*} \mathbb{E}\left[\lvert f_0 - f_j \rvert \right] & \stackrel{(c)}{=} \int_0^1 \int_0^1 \lvert x - y \rvert dydx \\ & = \int_0^1 \left(\int_0^x (x - y) dy + \int_x^1 (y-x) dy\right) dx \\ & = \int_0^1 x^2 - \frac 12 x^2 + \frac 12 (1-x^2) - (1-x)xdx\\ & = \int_0^1\frac 12 -x + x^2 dx \\ & = \frac 12 - \frac 12 + \frac 13 \\ & = \frac 13. \end{align*} Observa eso $(c)$ también vale para la independencia.