¿Cómo comprobar si la función generadora es correcta?

Question

Tengo la siguiente secuencia dada de forma recursiva por:

$$A_n - 2A_{n-1} - 4A_{n-2} = 0$$

Dónde:

$$A_0 = 1, A_1 = 3, A_2 = 10, A_3 = 32, etc.$$

Para encontrar la función generadora, hice lo siguiente:

$$\begin{aligned} A &= 1 + 3x + 10x^2 + 32x^3 + \dots \\ -2xA &= 0 - 2x - 6x^2 - 20x^3 + \dots \\ -4x^2 A &= 0 - 0 - 4x^2 - 12x^3 + \dots \end{aligned}$$

[Nota la $0s$ están ahí para propósitos de formato, no son parte de las expresiones]

Sumando estos juntos:

$$(1 - 2x - 4x^2)A = 1 + x + 0$$

$$A = \frac{1+x}{1 - 2x - 4x^2}$$

Lo cual, supongo, me da la función generadora.

Mi pregunta es, ¿cómo sé si esto es correcto? ¿Qué se supone que me diga esta función generadora?

Si sustituyo ciertos valores en la función generadora, ¿obtendré la secuencia inicial dada de forma recursiva o obtendré la función? $A = 1 + 3x + 10x^2 + 32x^3 + ...$?

Answer 1

Puede hacer una división larga de polinomios para extraer tantos términos como desee. (Lo siento por la imagen, tratar de averiguar cómo hacer esto con MathJax me hizo desmayar).

Answer 2

Para responder a su pregunta literal, puede hacer que el software amplíe su función racional para asegurarse de que los primeros términos sean correctos, como este .