¿Cómo derivar la solución "conocida" para la ganancia de matriz sin restricciones?

Question

¿Puede alguien señalarme una página web u otro recurso que muestre cómo resolver analíticamente la expresión de ganancia de matriz no restringida del formador de haz en el artículo IEEE de 1987 de Henry Cox "Robust Adaptive Beamforming"?

$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$

Cox dice:

La solución conocida es $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$

Me gustaría entender mejor esto aprendiendo cómo derivarlo yo mismo.

Answer 1

Puede resolver este problema utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange . Primero, tenga en cuenta que maximizar la expresión en su pregunta equivale a minimizar la función inversa:

$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$

A continuación, observe que la solución de $(1)$ es invariante a la escala de $\mathbf{w}$, es decir, reemplazando $\mathbf{w}$ por $c\cdot\mathbf{w}$ en $(1)$ con una constante escalar arbitraria $c$no cambiará el valor de la función. Así que también podemos usar una escala tal que$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$Está satisfecho. Esta escala corresponde a una respuesta unitaria para la señal deseada. Con esta restricción, el problema$(1)$ se puede reformular como

$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$

Podemos resolver $(2)$ utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange minimizando

$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$

Tomando formalmente la derivada de $(3)$ con respecto a $\mathbf{w}^H$ y ponerlo a cero da

$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$

La restricción en $(2)$ está satisfecho por

$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$

De $(4)$ y $(5)$ finalmente obtenemos

$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$

Tenga en cuenta que la escala $(6)$ es opcional y la solución general viene dada por $(4)$.

Answer 2

Primero, un bosquejo de la solución para el problema del formador de haz SINR máximo $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Empiece por escribir un funcional $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$minimizar y un conjunto de restricciones . De hecho, los vectores de peso w y w ^H se consideran los dos conjuntos independientes de variables cuando se toman derivadas con respecto a estas variables; por lo tanto, la energía de la señal de salida, generalmente escrita como un módulo al cuadrado del coproducto pesos-señales, debe escribirse como una función analítica, sin calcular la norma que toma la raíz cuadrada:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ El conjunto resultante de restricciones lineales es $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ y tenemos que escribir un lagrangiano con dos multiplicadores de Lagrange, λ y μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Tomando las dos derivadas del Lagrangiano - la primera, con respecto a w , y la segunda, con respecto a w ^H - obtenemos las expresiones para λ y μ , y, sustituyéndolas por las expresiones de restricción, finalmente llegamos a la fórmula para pesos:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Para mi sorpresa, al buscar en la web "una página web u otro recurso que muestre cómo resolver analíticamente el formador de haz" según la solicitud de OP, solo pude encontrar versiones reducidas y defectuosas de la derivación de esta fórmula, un documento típico son las notas del curso Optimal Beamforming , una introducción detallada y útil al tema en todos los demás aspectos. Incluso sospecho que el OP publicó la pregunta con el propósito de difundir esta omisión del recurso de aprendizaje (disculpe mi torpe intento de bromear).

Por ahora, solo puedo recomendar el material de aprendizaje sobre programación cuadrática de restricción lineal general a los estudiantes interesados ​​en la formación de haces óptima. Por ejemplo, refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf y https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. En estos documentos solo se consideran las formas cuadráticas de valor real, pero los resultados principales se pueden generalizar al dominio complejo.