Cómo elegir la medida de martingala en mercados incompletos
Oye, sé que cuando el mercado está incompleto, entonces tenemos que elegir una medida de martingala equivalente (escuché sobre la medida de martingala de la Transformada de Escher, la medida de martingala de corrección media, la medida de martingala de entropía mínima). Pero en Bjork se escribe "Teoría del arbitraje en tiempo continuo":
Cuando se trata de precios de derivados en un mercado incompleto, tenemos que fijar una medida de martingala específica Q, o equivalentemente una λ, y surge la pregunta de cómo hacerlo.
Pregunta: ¿Quién elige la medida martingala?
Respuesta: ¡El mercado!
Y realmente no lo entiendo. Entonces, ¿no tenemos que buscar una medida Martingala equivalente, sino obtenerla calibrando el modelo (bajo la medida física) a los precios de las opciones actuales?
Respuestas
La propiedad de incompletitud dice que hay infinitas medidas de martingala que producen un intervalo de precios libres de arbitraje. En realidad, uno tiene que cobrar un precio razonable por la cobertura parcial (no por la cobertura total) de los riesgos y asumir algún riesgo residual, lo que implica seleccionar una medida de martingala equivalente (EMM) basada en algún concepto de 'optimalidad'.
Incluiré la vista Cont y Tankov de 'Modelado financiero con procesos de impuestos ' y 'Modelado financiero con procesos de salto' .
(Capítulo 10 en la segunda referencia) "En un mercado completo, solo existe una forma libre de arbitraje de valorar una opción: el valor se define como el costo de replicarla. En los mercados reales, así como en los modelos considerados en este libro, setos perfectos no existen y opciones no son redundantes: la noción de fijación de precios por la replicación se desmorona, no porque el comercio en tiempo continuo es imposible en la práctica, sino porque hay riesgos de que uno no puede cubrir ni siquiera por el comercio en tiempo continuo. por lo tanto estamos forzado a reconsiderar la cobertura en el sentido más realista de aproximar un pago objetivo con una estrategia de negociación: hay que reconocer que la cobertura de opciones es un asunto arriesgado, especificar una forma de medir este riesgo y luego tratar de minimizarlo. Diferentes formas de medir el riesgo por lo tanto, conducen a diferentes enfoques de cobertura: la supercobertura, la maximización de la utilidad y la cobertura de la varianza media se encuentran entre los enfoques analizados en este capítulo. Cada una de estas estrategias de cobertura tiene un costo, que se puede calcular en algunos casos. Por tanto, el valor de la opción constará de dos partes: el coste de la estrategia de cobertura más una prima de riesgo, exigida por el vendedor de la opción para cubrir su riesgo residual (no cubierto). Nos ocuparemos aquí del primer componente mediante el estudio de varios métodos de cobertura y sus costes asociados. La fijación de precios de arbitraje no tiene nada que decir sobre el segundo componente que depende de las preferencias de los inversores y, en un mercado de opciones competitivo, esta prima de riesgo puede reducirse a cero, especialmente para las opciones de vainilla ".
@river_rat menciona aquí (en los comentarios), en el contexto del precio de mercado de Heston del riesgo de volatilidad, que el parámetro de EMM adicional podría (debería) usarse "en la estabilidad de los índices de cobertura resultantes (que, lamentablemente, suele ser una preocupación secundaria) ".