¿Cómo explicar que exista este límite?

Question

Estoy tratando de mostrar el $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^2-y^2}$existe o no existe y si existe lo que es. He elegido un camino$y = x - kx^4$ y puedo demostrar que esto va a $\frac{1}{2k}$. Creo que es apropiado decir que este límite existe usando esta ruta, pero ¿es cierto decir que el$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ es igual a $\frac{1}{2k}$? El problema es que no sé exactamente cómo explicar por qué y qué significa exactamente esto. He visto algo probado como esto antes, pero realmente no entiendo por qué esto prueba que existe el límite. Cualquier ayuda para entender por qué se agradecería.

Answer 1

Cuando calcula el límite a lo largo de la ruta $y=x-kx^4$ y llegar a la conclusión de que es $\frac{1}{2k}$, estás demostrando que el límite no existe. Si existiera, obtendría el mismo límite en todos los caminos posibles.