¿Cómo fueron las amplitudes de la$\cos$y$\sin$¿elegido?

Question

No entiendo por qué usamos$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$en la siguiente transformación. ¿Alguien puede ayudar a explicar?

de

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

transformar a

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

dejar$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$y$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

Concentrémonos en la parte importante, que es de la forma$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$que queremos expresar como$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Una condición necesaria (y suficiente) es que$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$y por lo tanto$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Por eso$$ A^2=a^2+b^2 $$Queremos$A>0$(no necesario, pero conveniente), por lo que obtenemos$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Los dos últimos requisitos se pueden cumplir, porque$(a/A,b/A)$es un punto en el círculo unitario.

Answer 2

Esta es una forma de normalizar el vector.$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$eso es

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

tiene una longitud igual a$1$y esto permite realizar la transformación posterior para$\cos \phi$y$\sin \phi$.