¿Cómo hallarías la derivada de esta función?

Question

Estoy estudiando un poco por mi cuenta y estoy tratando de encontrar la derivada de:

$$y= 2 \sqrt{x} $$ en el punto [1, 2].

Ahora sé cómo hacer la derivada de la forma típica, pero ¿alguien podría mostrarme cómo hacer la derivada usando el $+h$¿método? Tengo problemas para resolver el límite. Es decir, límite de$h->0$ para:

$$\frac{2 \sqrt{1 + h} - 2 \sqrt{1}}{h}$$

Todo lo que obtengo es infinito, lo cual es claramente incorrecto, como si hicieras derivadas de la manera habitual, sería:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Igual a 1.

¡Gracias!

Answer 1

Multiplicar por la fracción conjugada $\frac{2\sqrt{1 + h} + 2}{2\sqrt{1 +h} + 2}$:

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + h}-2}{h}\frac{2\sqrt{1+h}+2}{2\sqrt{1 + h} + 2} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4h}{2h(\sqrt{1 + h} + 1)} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{1+h} + 1}=\boxed{1}$$

Al hacer estos derivados, si obtiene un $\frac{0}{0}$ y tienes raíces en el numerador, por lo general es mejor multiplicar por el conjugado y simplificar, como un $h$ saldrá en alguna parte.

Answer 2

Supongo que debería preguntar, ¿cuál es la "forma habitual"?

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2\sqrt {a} - 2\sqrt {x}}{a-x}$

Nosotros hemos sustituido $x+h$ con $a.$ El álgebra es más agradable de esta manera.

Multiplicar por $\frac {\sqrt {a} + \sqrt {x}}{\sqrt {a} + \sqrt {x}}$

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2(a-x)}{(a-x)(\sqrt {a} + \sqrt {x})}$

los $a-x$ los factores se cancelan cuando $a$ está cerca pero no es igual a $x.$

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2}{\sqrt {a} + \sqrt {x}}$

y deja $a$ Acercarse $x.$

$f'(x) = \frac {1}{\sqrt {x}}$

Alternativamente, puede utilizar el teorema del binomio generalizado.

$f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {2(x+h)^\frac 12 - 2x^\frac 12}{h}$

El teorema del binomio dice: $(x+h)^\frac 12 = x^\frac 12 + \frac 12 x^{-\frac 12}h - \frac 18 x^{-\frac 32}h^2 +\cdots$

los $n$el término es $c_n = c_{n-1} \frac {{\frac 12 - (n-1)}}{n} x^{-1}h$

$f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {2x^\frac 12 + x^{-\frac 12}h - \frac 14 x^{-\frac 32}h^2 + \cdots - 2x^\frac 12}{h}\\ f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {x^{-\frac 12} - \frac 14 x^{-\frac 32}h + \cdots}{h}$

Y deja $h$ ir $0.$

$f'(x) = \frac {1}{\sqrt {x}}$