¿Cómo integro esto $d^3p$ ¿integral?

Question

He intentado integrar lo siguiente:

$$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{p}{T} \sin^2 (2\theta) \frac{1}{e^{p/T}+1}$$

para hacer esto elegí utilizar coordenadas esféricas que originaron el problema mencionado en ¿Cómo integro esto por partes? (si es por partes)

El uso de tales coordenadas conduce a esta ecuación:

$$\frac{1}{2\pi^3}\int^{2\pi}_0 \int^ \pi _0 \int ^\infty _0 dp d\theta d\phi \hspace{1mm}\frac{p}{T} \sin^2 2\theta \frac{1}{e^{p/T} +1} p^2 \sin \theta $$

Intenté integrarlo pero no tuve éxito y ese enlace es una de las razones del por qué.

Answer 1

Insinuación:$$\int_0^\pi\sin\theta\sin^22\theta d\theta=8\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=4\operatorname{B}(2,\,\tfrac32)=\frac{16}{15}$$y$$\int_0^\infty\frac{x^3dx}{e^x+1}=\Gamma(4)\eta(4)=24(1-2^{-3})\zeta(4)=\frac{7\pi^4}{30}.$$