Cómo interpretar la definición de inyectividad

Question

Estoy leyendo el Análisis de Terence Tao . En la sección 3.3, introduce la definición de inyectividad como:

Una función f es uno a uno (o inyectiva) si diferentes elementos se asignan a diferentes elementos:$$x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x') $$De manera equivalente, una función es uno a uno si$$ f(x) = f(x') \Longrightarrow x = x'$$

El lenguaje no es difícil de entender. Sin embargo, cuando estaba haciendo el Ejercicio 3.3.3, descubrí que no es muy riguroso y que diferentes interpretaciones de la definición dan como resultado conclusiones diferentes.

Por ejemplo, si lo interpretamos como (Supongamos que el dominio es$X$)$$ \forall x \forall x'(x \in X \wedge x' \in X \wedge (x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x')))$$, entonces la función vacía no es inyectiva ya que$x \in \varnothing$es siempre una afirmación falsa.

Por otro lado, si lo interpretamos como$$\forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, o$$ \forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, entonces la función vacía siempre es inyectiva para$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))$$y$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))$$son vagamente verdaderas.

¿Cuál de las interpretaciones es correcta o puede haber diferentes interpretaciones para una definición?

Answer 1

Su primera interpretación,$$\forall x\forall x'(x\in X\land x'\in X\land (x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))),$$Es incorrecto.

Lo que estás tratando de hacer aquí es vincular el cuantificador universal, es decir,$$(\forall x\in X)(\forall x'\in X)(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')),$$Pero un cuantificador universal acotado se define así:$$(\forall x\in X)\varphi := \forall x(x\in X\to\varphi).$$

La interpretación correcta sería la segunda de hecho, que es$$\forall x\forall x'((x\in X)\to((x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')))),$$o después de simplificaciones,$$\forall x\forall x'((x\in X\land x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))).$$

Permítanme agregar que en contraste,$(\exists x\in X)\varphi$Se define como$\exists x(x\in X\land\varphi)$. Es por eso que terminaste con un problema.

Answer 2

Si$f$viene con un dominio$X$, entonces se debe interpretar la inyectividad (en línea con su segunda interpretación):

$$\forall x,x': \left( x \in X \land x' \in X \land x \neq x' \right) \implies (f(x) \neq f(x')$$

lo que de hecho hace que cualquier función en un dominio vacío sea vacíamente inyectiva. El que mencionas después, que tiene dos implicaciones, es lógicamente equivalente, como también señaló Greg en los comentarios.$p \to (q \to r)$es lógicamente equivalente a$(p\land q) \to r$.