¿Cómo interpretar la raíz cuadrada del producto interno sobre un campo arbitrario?

Question

En un espacio de producto interior, la norma $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$es inducido. Me doy cuenta de que casi siempre he tratado con números reales o complejos, así que di por sentada la raíz cuadrada.

Leyendo la entrada del producto interno en Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html), dice " Un espacio vectorial junto con un producto interno se llama espacio de producto interno. Esta definición también se aplica a un espacio vectorial abstracto sobre cualquier campo " . Esto se dijo después de introducir los axiomas en el contexto de un espacio sobre$\mathbb{R}$.

Estoy confundido porque no sé cómo interpretar la raíz cuadrada en un campo arbitrario. Supongo que la forma obvia sería definirlo como el elemento$a \in \mathbb{F}$ tal que $a^2 = \langle x,x\rangle$. Pero el problema que tengo es cómo sabemos si existe tal elemento en el campo. ¿Es este un resultado estándar de la teoría de anillos?

Mi entendimiento siempre ha sido que los espacios de productos internos (y los espacios normados) solo se definen sobre los números reales o complejos. ¿Cómo los construyes (o algo equivalente) sobre algún campo arbitrario?

Answer 1

La afirmación no tiene sentido. En espacios vectoriales$V$ sobre campo arbitrario $k$ tenemos formas bilineales $b(x,y)$. Cuando$k=\Bbb{C}$ también miramos las formas sesquilíneas, lo que significa que el segundo argumento es lineal después de aplicar un automorfismo $\sigma$del campo (la conjugación compleja). Pero entonces podemos considerar$V$ como un $k^\sigma$ espacio vectorial para hacerlo lineal, asuma que $b$ es verdaderamente lineal.

$q(x) = b(x,x)$ es una forma cuadrática.

Una primera propiedad deseable es que $b(x,y)=b(y,x)$ (cuando $char(k)\ne 2$ existe una correspondencia uno a uno entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas).

Una segunda es que $q(x)=0$ si $x=0$. En ese caso$q$ se dice anisotrópico.

Cuando $k$ es un campo ordenado hay un tercero: que $\forall x,q(x)\ge 0$. Con los anteriores esta es la definición de "$b$ es un producto interno ". Cuando sea el caso, $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ es una especie de norma (cuando $k$ no es un subcampo de $\Bbb{R}$ luego $\|x\|$no tiene un valor real, así que esto es un poco diferente). ¿Crees que siempre hemos$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?

$\sqrt{q(x)}$ es un elemento de la extensión algebraica de $k$ obtenido sumando todas las raíces cuadradas de los elementos $\ge 0$, también se ordena, a través de $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ si $a\ge b$, luego aplicando la ley del orden.

Tenga en cuenta que existen normas de valor real en otros campos, por ejemplo $\|x\| = 0$ Si $x_1=x_2=0$ y $=1$ de lo contrario es una norma de valor real sobre $k^2$ para cualquier campo, una norma para el valor absoluto trivial $|a|_{tr}= 0$ Si $a=0$ y $=1$ de lo contrario, tal que $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.