Como mostramos eso ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ no es absolutamente convergente?

Question

Esto es de Análisis complejo de Shakarchi y Stein en el capítulo de Funciones elípticas.

Como mostramos eso ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ no es absolutamente convergente, donde $\wedge$Qué es una celosía doble en un plano complejo? Me parece difícil mostrar la convergencia absoluta de las sumas infinitas complejas. Tal vez pueda intentar encuadernar esta serie y usar el hecho de una serie real, pero no sé cómo.

Answer 1

Por una rotación podemos asumir que la celosía es $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ y wlog podemos asumir $a \ge 0$ como de lo contrario usamos $n <0$ en lo que sigue.

Reparar $z=x+iy$, entonces $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

Entonces sí $Nb>|y|$, obtenemos $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

y de manera similar $M>0, M+Na >|x|$ implica $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Esto significa que $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Pero ahora sumando solo esos términos y llamando a esa suma $S$ lo entendemos:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

Usando que una serie doble de números positivos se puede intercambiar a voluntad (con el mismo resultado, ya sea finito o infinito) obtenemos inmediatamente (ya que el sumando disminuye en $m$) que por fijo $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

dónde $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ como $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ y el arcangente está aumentando

Pero esto demuestra que $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ así que la doble serie de valores absolutos en un subconjunto de celosía ya es infinita y ¡hemos terminado!