¿Cómo podemos probar esta identidad?$\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$
¿Cómo podemos argumentar que$$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$dónde$I_0(a)$es una función de Bessel modificada.
Intenté simplificarlo de la siguiente manera:\begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}
¿Cómo puedo mostrar eso?$$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$
Respuestas
Hacer cumplir la sustitución$x\mapsto 2\pi-x$, vemos eso
$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$
Por lo tanto, afirmamos que
$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$
como se iba a mostrar!