¿Cómo puedo usar la función `SolveAlways` para resolver este problema?

Question

Dado que $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^{x}$ es una solución especial de la ecuación diferencial $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^{x}$( a, b, cSon constantes), quiero encontrar el valor de a, b, c.

y[x_] := 1/2 E^(2 x) + (x - 1/3) E^x
SolveAlways[(D[#, {x, 2}] + a*D[#, x] + b*# == c*E^x) &@y[x], x]

Pero el código anterior no puede resolver este problema (la respuesta es a=-3, b=2, c=-1). ¿Cómo puedo usar la función SolveAlwayspara resolver este problema?

Answer 1

De la documentación para SolveAlways:

SolveAlways trabaja principalmente con ecuaciones lineales y polinomiales.

¡Hagámoslo lineal! Hay tres funciones linealmente independientes aquí, la función constante,$x$y $e^x$, así que establezcamos la función exponencial en y:

y[x_] = 1/2 E^(2 x) + (x - 1/3) E^x;
(D[#, {x, 2}] + a*D[#, x] + b*# == c*E^x) &@y[x] // Simplify;
SolveAlways[% /. Exp[x] -> y, {x, y}];
(* {{a -> -3, b -> 2, c -> -1}} *)