¿Cómo utilizar la tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan de Wikipedia?
Wikipedia tiene un buen artículo que describe los coeficientes de Clebsch-Gordan .
Por ejemplo, a mi entender, esta tabla nos dice cómo combinar dos partículas, cada una con un momento angular total máximo. $1$ en una función de onda con momento angular máximo $2$:
Toma la primera columna de la última tabla. Nos dice, creo:
$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$
Cómo interpreto esto:
El momento angular total de una partícula que surge de tal combinación de funciones de onda de otras dos partículas tendrá un número cuántico angular total 2 (por lo que el momento angular total $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), pero $0$ alrededor de $z$ eje (como $m_j$, lo que entiendo que es el momento angular alrededor del $z$ eje, es $0$).
Entonces, el momento angular de la partícula constituyente no está alineado entre sí, de hecho, están lo suficientemente antialineados como para que el momento angular total en la dirección z sea 0.
¿Es correcta esta interpretación de lo que está pasando? Mi preocupación es que no hay mesas para$m=-1,-2$. Si mi interpretación de la situación es correcta, no veo ninguna razón por la que no pueda producir una partícula combinada con estos$m$ valores, si puedo hacerlo por $m=0,1,2$.
Respuestas
El artículo de Wikipedia dice lo siguiente:
Por brevedad, soluciones con $M < 0$ y $j_1 < j_2$se omiten. Pueden calcularse usando las relaciones simples$$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ y $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$
En otras palabras, los coeficientes de Clebsch-Gordon para un valor negativo de $m$ son los mismos (hasta un signo) que los correspondientes al valor positivo de $m$, siempre que cambie los signos de $m_1$ y $m_2$ también.