Compensación entre hipervolumen y diámetro de $d$-Formas dimensionales que tienen un cuadro delimitador hipercúbico más pequeño

Question

Dado cualquier $d$-forma dimensional $X$, dejar $V(X)$ ser su $d$-volumen dimensional, y dejar $\ell(X)$ será la longitud del segmento de línea más largo que conecta dos puntos de $X$.

Dejar $\mathcal{S}_C$ ser el conjunto de todos $d$-Formas dimensionales tales que su cuadro delimitador mínimo es un $d$-cubo dimensional $C$. Estoy interesado en cuantificar la compensación entre$\frac{V(X)}{V(C)}$ y $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ encima $X\in\mathcal{S}_C$ (informalmente, cuanto $\frac{V(X)}{V(C)}$ puede ser grande mientras $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ es pequeño).

Pregunta: ¿Podemos demostrar que para$d\gg 1$ y para todos $X\in\mathcal{S}_C$ existe una constante $c$ tal que la siguiente desigualdad sea siempre válida? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Answer 1

Esto es demasiado largo para el cuadro de comentarios, así que lo publico como respuesta.

El peor de los casos es cuando $X$ es la intersección de una bola de radio $r\ge 1$ con el cubo $C=[-1,1]^d$. De hecho, si tomamos el cuerpo diferente$\frac{X-X}{2}$ de cualquier cuerpo $X$ contenido en el cubo y de diámetro $\ell=2r$, obtendremos un cuerpo contenido en el cubo y también en la bola de radio $r$y el volumen no disminuirá por Brunn-Minkowski. Además, dado que cualquier cuerpo de este tipo contiene la bola unitaria, el cubo estándar es, de hecho, la caja mínima para él. Ya que$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, vemos que para ese cuerpo siempre se cumple la desigualdad inversa.

Sería bueno encontrar una aproximación decente para el volumen de esa intersección para ver qué sucede en el régimen cuando $r/\sqrt d$ permanece fijo y $d\to\infty$, decir.