Composición de elementos de subgrupos
Valide la siguiente prueba.
Dejar $H$ ser un subgrupo del grupo abeliano $G$ con elementos $h \in H$ y $g \in G$ pero $g \notin H$.
Teorema
El producto $gh \notin H$.
Prueba
Dejar $x = gh$. Asumir$x \in H$, luego multiplicando por $h^{-1} \in H$ tenemos eso $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Así que hemos compuesto dos elementos de$H$ y obtuvo un elemento $g \notin H$ y esto viola el cierre del subgrupo, por lo tanto $gh \notin H$. $\square$
Respuestas
Hipótesis: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.
Suponer que $gh\in H$ y tendremos una contradicción /
Ya que $h\in H$ y $H$ es un subgrupo que tenemos $h^{-1}\in H$.
Ya que $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ contradicción.
Usé el hecho de que "si $a,b\in H\leq G$ luego $ab,ba\in H$"
De hecho
Si $H$ es un subgrupo de $G$ y $h \in H$, entonces para todos $g \in G$ tenemos $gh \in H \iff g \in H$.
En efecto, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Por el contrario,$g \in H \implies gh \in H$. Ambas afirmaciones siguen porque$H$ es un subgrupo y por lo tanto está cerrado bajo productos e inversos.
Si. O podrías decir que has demostrado$g\in H$. De cualquier manera, contradicción. Eso completa la prueba.