Comprensión intuitiva de cómo se encuentran las líneas paralelas en la geometría proyectiva
Estoy viendo una conferencia sobre Topología, donde se menciona que en Projective Geometry Parallel Lines Meet . Me interesa la idea intuitiva de cómo es eso posible. En geometría proyectiva, ¿asumimos que en el infinito las líneas paralelas se encuentran del mismo modo que asumimos que cualquier secuencia que diverge hasta el infinito es la misma en el infinito?
Respuestas
Dado que pidió una idea intuitiva de cómo es posible que las líneas paralelas se unan, considere la observación común de que las vías del tren (que son paralelas) se encuentran en el horizonte. Sabes, por supuesto, que la Tierra no es un plano, y que un telescopio poderoso mostraría que realmente no se encuentran. Pero finge que la tierra es un plano infinito. ¿Las huellas se encuentran en el horizonte o no?
En geometría proyectiva, las transformaciones permitidas se denominan transformaciones proyectivas . Son biyecciones del plano que asignan líneas a líneas. Cuatro puntos no colineales que se asignan a otros cuatro puntos no colineales determinan de forma única una transformación proyectiva. Si juegas con transformaciones proyectivas verás que se sienten como cambios de perspectiva.
Volviendo a las vías del tren en un plano infinito, considere la perspectiva A, que las mira desde arriba, y la perspectiva B, que las ve convergiendo en el horizonte (línea $h$). Hay una transformación proyectiva$T$ que lleva la perspectiva A a la perspectiva B. Pero considere $T^{-1}$, el cual toma $B$ a $A$. Dado que las líneas van a las líneas, ¿qué es$T^{-1}(h)$? Dado que el horizonte está "en el infinito",$T^{-1}(h)$no puede ser una línea finita. Es la "línea al infinito"$l_{\infty}$, que es una línea que consta de "puntos en el infinito", que a su vez se pueden considerar como direcciones (suponga que tiene dos vías férreas que van en diferentes direcciones. Se encontrarán en diferentes puntos en el horizonte). Además,$T(l_{\infty})=h$, entonces $T$ es una forma de ver $l_{\infty}$ como una línea visible.
Añadiendo la línea $l_{\infty}$ al avión es un poco como agregar $i=\sqrt{-1}$ a $\mathbb R$para obtener los números complejos. En ambos casos añadimos algo que nos sorprende de forma imaginaria e intangible, pero a cambio obtenemos un marco matemático más consistente y completo.
Así que sí, en geometría proyectiva, las vías del tren (vistas desde arriba como líneas paralelas) se encuentran en un punto en $l_{\infty}$. Y es por eso que en geometría proyectiva no existe el concepto de "paralelo".
Responder a una pregunta en un comentario (pero inherentemente o en realidad las líneas siguen siendo paralelas, ¿verdad?): La mentalidad de la geometría proyectiva es que son solo líneas y puntos. No hay información métrica como la distancia y el ángulo. Por otro lado, tendemos a utilizar el plano euclidiano como modelo inicial para ayudarnos a visualizar las cosas. Eso es útil, pero tenemos que abandonar nuestras nociones métricas, y la afirmación "las líneas paralelas nunca se encuentran" ya no es cierta porque ha sido reemplazada por el axioma "dos líneas se encuentran en un punto". Entonces, el avión euclidiano es una especie de ruedas de entrenamiento para imaginar lo que está sucediendo. La analogía con los números imaginarios es sólo sugerente aquí, porque "i" expande R a C, pero con la geometría proyectiva "las líneas paralelas no se encuentran" se reemplaza con "dos líneas distintas se encuentran". Puedes ir al otro lado y empezar con el plano proyectivo y, al ajustar las cosas, conseguir el plano euclidiano. El axioma paralelo también se reemplaza en la geometría hiperbólica, pero de una manera diferente, y personas como Gauss se preguntaron si el axioma paralelo era "cierto en la realidad" (como, en el mundo real), pero guardó sus pensamientos para sí mismo porque eran demasiado controvertidos. . Y en la geometría esférica, dos líneas (definidas como grandes círculos) siempre se encuentran.
Pero, a tu pregunta, si quieres seguir las reglas del juego, no dices que dos líneas son paralelas, dices que se encuentran en $l_{\infty}$. Y no hay nada especial en$l_{\infty}$. De hecho, si tiene un teorema sobre líneas paralelas, a menudo puede obtener un nuevo teorema gratis aplicando una transformación proyectiva y reemplazando "líneas paralelas" con "líneas que se encuentran en una línea en particular (como$h$) ". Aún puede insistir en que las líneas son paralelas, pero en ese punto se está saliendo de los límites y diciendo algo sobre un modelo específico de geometría proyectiva.
en geometría proyectiva, las líneas paralelas se encuentran
Es una declaración contradictoria.
Es más exacto decir
en geometría proyectiva, no hay dos líneas distintas que sean paralelas
La forma en que surgió el enunciado contradictorio es así: desde cualquier plano afín (como el plano euclidiano, donde una sola línea tenía incontables compatriotas paralelos) se pueden agregar puntos, que forman una nueva línea, y extender las relaciones de incidencia para crear un plano proyectivo. que contiene ese plano afín.
Para cada clase de equivalencia, declara un nuevo punto, llamado punto ideal, correspondiente a esa clase. Todas las líneas de la clase están “extendidas” en un punto y todas comparten el punto en común.