Comprobando cuando una función real es continua en un intervalo donde es monótona [cerrada]

Question

Estaba revisando para mi examen Real Analysis 1 y encontré este teorema:

Dejar$f : I \to \mathbb R$Sea una función, donde$I\subseteq\mathbb R$es un intervalo. Suponer que$f$es monótono en$I$, entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

• $f$es continua en$I$
• $f(I)$es un intervalo

Ya casi termino con este examen pero nunca usé esta equivalencia en la práctica, mi pregunta es: ¿me puede dar algunos ejemplos donde estudiar la imagen de un intervalo es más fácil o más útil que verificar directamente los límites de la función, para saber cuándo? una función es continua?

Answer 1

Una forma de demostrar que la función de Cantor es continua es mostrar que no es decreciente y tiene imagen$[0,1]$.