con respecto a un límite: se requiere una explicación explícita
Tenemos, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$
Y eso está bien, pero no estoy seguro de $p\in \mathbb{R}$, mi pregunta es, ¿es cierto para $p\in \mathbb{R}$?
He intentado calcular el valor de este límite en Symbolab Online Calculator, poniendo $p =some$ $fraction$ $number$, pero se nota $0$como respuesta. Se adjunta la captura de pantalla de este caso.


¿Alguien puede proporcionarme el enfoque o incluso una sugerencia para probar o refutar la cifra mencionada anteriormente?
¡Gracias por adelantado!
Respuestas
Es cierto para cualquier $p> -1$. En realidad, es una suma de Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ para la función $f(x)=x^p$, con límites $0$ y $1$, por lo que converge a $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$
INSINUACIÓN
Use Stoltz-Cesaro para obtener
$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$