Conceptualizando una solución a un problema de radiación térmica
Tenga en cuenta este problema de radiación térmica.
Preliminar / Antecedentes: Un cuerpo negro esférico B1 , como una estrella, se encuentra en un entorno sin otros objetos térmicamente activos cerca. El espacio está a una temperatura de 0 K. El cuerpo tiene reacciones internas (nucleares, por ejemplo) que hacen que la temperatura de su superficie sea de 1000 K cuando está en estado estable en este entorno . Un cuerpo negro esférico B2 similar (mismo radio, masa, difusividad térmica) , en el mismo entorno , tiene reacciones nucleares que hacen que la temperatura de su superficie sea de solo 900 K.
El problema: el cuerpo B1 ahora se acerca lo suficiente a B2 (digamos que sus superficies están separadas por una distancia de 2 veces el radio) para hacer que se establezca una nueva condición de estado estable. Ignora la gravedad.
¿Cómo haría para calcular las nuevas temperaturas de los cuerpos después de que lleguen a interactuar térmicamente? Como en, ¿qué otra información se necesita? Es intuitivo que las temperaturas de ambos aumentarían desde el caso en que cada uno estuviera aislado porque pasaron de interactuar térmicamente con un ambiente a 0 K a un ambiente en promedio por encima de 0 K (ya que el ambiente de cada uno ahora incluye al otro) . Suponga que las reacciones nucleares dentro de cada uno no se ven afectadas por la presencia del otro. Estoy seguro de que se necesita más información para calcular la nueva temperatura de estado estable de cada uno. ¿Qué información sería esa? Si asumimos una conductividad térmica casi infinita tal que cada cuerpo está a una temperatura uniforme, eso facilitará el problema. Parece claro que también necesitaríamos la capacidad calorífica. ¿Alguna idea sobre qué otras variables se necesitan y las ecuaciones gobernantes para resolver?
Respuestas
Suponga dos cuerpos negros esféricos a temperaturas $T_1$ y $T_2$ con radios constantes $r_1$ y $r_2$y conductividad térmica infinita. Los dos objetos se irradian inicialmente individualmente al espacio vacío a temperatura$T_{\mathrm{inf}}=0\,\mathrm{K}$. Suponiendo un estado estable, la generación de calor correspondiente debe ser$$Q_i=4\pi r_i^2\sigma T_i^4$$ (correspondiente a la generación de calor volumétrico de $3\sigma T_i^4/r_i$), dónde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann.
Suponiendo que los dos objetos se colocan en la misma región a una distancia de centro a centro $d>>r$, cada objeto $i$ ahora recibe un flujo entrante adicional de aproximadamente $a_{ij}\sigma T_j^4$ desde un ángulo sólido de $a_{ij}=A_j/4\pi d^2=r_j^2/4 d^2$, dónde $A_j$ es el área de la sección transversal del objeto $j$. Por tanto, el nuevo balance energético es ahora$$4\pi r_i^2\sigma T_i^{\prime 4}= 4\pi r_i^2\sigma T_i^4+ r_i^2r_j^2 \sigma T_j^{\prime 4}/d^2,$$
donde las nuevas temperaturas de equilibrio $T_i^{\prime}$ y $T_j^{\prime}$ se puede encontrar iterativamente, por ejemplo.
El caso de $d$ comparable a $r$requiere un factor de vista más complejo, generalmente obtenido de una tabla de valores o un ajuste empírico, como se discute aquí .