Confundido con dimensiones e incrustaciones
Soy nuevo en topología y me disculpo de antemano por esta pregunta, quizás muy simple (o filosófica).
Siempre he pensado en un toro como una superficie en forma de rosquilla en $\mathbb{R}^3$. Sin embargo, después de que comencé a estudiar topología, descubrí que el toro es$S^1 \times S^1$ y se define naturalmente en $\mathbb{R}^4$. Pero al mismo tiempo, según tengo entendido, la representación 3d popular de un toro es una incrustación en$\mathbb{R}^3$, por lo que, por definición de incrustación, el toro 4d natural es homeomórfico a un toro 3d fácilmente visualizado.
Cuando tomamos el cociente de un cuadrado (identificando lados) para construir un toro, ¿no nos estamos engañando visualizando esto en $\mathbb{R}^3$, ya que solo obtenemos un "trozo" de un toro 4d real. Es posible que haya respondido a mi propia pregunta aquí diciendo que la incrustación es un homeomorfismo, pero aún quiero entender cuáles son las conexiones entre dimensión, incrustación y homeomorfismo .
Torus es bidimensional, ya que 2 puntos son suficientes para definirlo (un punto por cada $S^1$), pero cada círculo se presenta naturalmente en $\mathbb{R}^2$, entonces necesitamos $\mathbb{R}^4$.
¿Estamos perdiendo "información" cuando "proyectamos" el toro desde $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^3$? ¿Es solo una pérdida visual o también topológica?
Puedo imaginarme metiendo 3 bolas $\mathbb{R^3}$ y "encogiéndolo" a 2 bolas (disco) en $\mathbb{R}^2$ por $z \to 0$. Durante esta transición de$\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ obviamente perdimos información visual y topológica (n-ball es homeomorfo a m-ball $\iff$ n = m).
¿El homeomorfismo conserva la dimensión "interior", pero no "se preocupa" por el espacio exterior (extrínseco)?
Respuestas
Realmente no veo el toro 'natural' como $S^1 \times S^1$ sentado en $\mathbb{R}^4$. Existen múltiples formas equivalentes (léase: homeomórficas) de ver el toro, una de las cuales es la conocida imagen de "rosquilla". Otros dos serían tan$S^1 \times S^1$ sentado en $\mathbb{R}^4$, o como un cociente del cuadrado, como indicaste.
La conclusión es que, para un matemático, el toro es un objeto por derecho propio . Que exista un espacio euclidiano ambiental en el que se pueda incrustar es en cierto sentido irrelevante. Es solo un conjunto de puntos junto con una colección de 'subconjuntos abiertos' que definen su forma.
Para llegar a sus preguntas: dado un espacio topológico (por ejemplo, el espacio $X$que es el cociente de la plaza mediante la identificación de los lados opuestos que llevan la topología cociente), podemos tratar de visualizar por la incrustación en un espacio euclidiano. Una incrustación del espacio topológico$X$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ es solo un mapa $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ es un homeomorfismo.
Entonces, resulta que $X$ se puede incrustar en $\mathbb{R}^3$, pero también en $\mathbb{R}^4$. Piense en estos como 'realizaciones' de$X$en un espacio ambiental más grande. Ambas realizaciones son homeomorfas para$X$(duh, por definición de lo que es una incrustación), por lo que también son homeomórficos entre sí. Por tanto, no se pierde información.
No es correcto pensar en la imagen en forma de 'rosquilla' del toro como una versión proyectada de la realización en $\mathbb{R}^4$. No hay ninguna proyección (como cuando proyecta un cilindro vertical en 3D a un corte circular en el plano horizontal). La dona no es una rebanada 3D de la forma 4D, es la misma forma .
Tiene razón al decir que la dimensión del toro es $2$. Esta dimensión también es independiente del espacio ambiental. El homeomorfismo, por lo tanto, conserva esta dimensión y no se preocupa por la dimensión extrínseca. Hay una pequeña advertencia aquí: es bastante difícil definir qué significa 'dimensión' para un espacio topológico, por lo que demostrar la afirmación de que el toro tiene dimensión 2 es difícil.