Confusión sobre la definición de puntos de acumulación.
He estado tratando de aprender un poco sobre los límites de las secuencias y los puntos de acumulación para tener una mejor intuición detrás del funcionamiento del cálculo y me confundí con las definiciones de límites, puntos límite y puntos de acumulación de secuencias y conjuntos.
Mi primera pregunta es un límite de una secuencia igual que el punto de acumulación y es igual que el punto límite que miré en línea y todo es muy vago. Mi segunda confusión es que el límite de una secuencia es lo mismo que el límite de un conjunto si no, ¿hay alguna prueba o explicación intuitiva de por qué no?
Sé que este es probablemente un concepto muy simple y probablemente trivial para todos ustedes aquí, pero me confunde mucho. Gracias por adelantado
Respuestas
Un punto límite es lo mismo que un punto de acumulación, y su definición es que:
Un punto $x$ es un punto límite de un conjunto $A$ si por cada barrio $S$ de $x$ existe $y \in S$ tal que $y \in A$, $y \neq x$.
Prefiero mucho el nombre "punto de acumulación", porque en realidad no estás tomando límites aquí ... ¡es al revés! Para poder hacer límites, normalmente se requieren puntos de acumulación, ya que la definición topológica de un límite requiere tomar vecindarios y calcular la función allí.
Acerca de tu segunda pregunta:
Un punto $x$es un punto de acumulación para una secuencia $\{x_n\}$ si algún barrio $S$ de $x$ es tal que hay infinitos índices $n$ tal que $x_n \in S$.
Es esencialmente la misma definición que la anterior, pero toma $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Sin embargo, un punto es un punto límite para una secuencia si todos los índices después de un cierto$n$están en cualquier barrio. Formalmente:
Un punto $x$ es el límite de una secuencia $\{x_n\}$ si algún barrio $S$ de $x$ es tal que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $x_n \in S$ para todos $n>N$.
Y esto es más fuerte que simplemente ser un punto de acumulación: puedes ver la diferencia considerando la secuencia $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Cualquier barrio de$1$ contiene infinitos puntos de esta secuencia, es decir, todos los $x_{2n}$ después de un cierto $n$. Del mismo modo, cualquier barrio de$-1$ contendrá todos los $x_{2n+1}$ después de un cierto $n$, por lo tanto $1$ y $-1$ son puntos de clúster para $x_n$. Sin embargo, no hay límite (de hecho, los límites son únicos, si existen).
Existe una diferencia entre límite y punto límite. El concepto está definido para secuencias y funciones, pero el punto límite se define para conjuntos, como se menciona en la respuesta anterior. Una secuencia puede tener un punto límite pero no un límite. Por ejemplo, deja$\{a_n\}$ Se define como $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Que $a_n=1+\frac{1}{n} $ para n impares y $a_n=-1+\frac{1}{n} $para los pares. En esta secuencia tanto$1$ y $-1$ son punto límite pero la secuencia no es convergente y no hay límite.