Constante de Euler y función de von Mangoldt

Question

¿Alguien puede proporcionar una referencia o enlace sobre cómo se derivó la siguiente ecuación:

$\gamma = (1/2)*\sum \frac{1-\Lambda (k)}{k}$

donde la suma es superior a k> = 1, γ es la constante de Euler-Mascheroni y Λ (k) es la función de von Mangoldt.

Gracias.

Answer 1

$\sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1}{k} - \sum \limits_{k \leq n} \frac{\Lambda(k)}{n} = H_n - \sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} - \sum \limits_{p \leq n } \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} $

Por el tercer teorema de Mertens y PNT $\sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = \ln n - \gamma - \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} + o(\frac{1}{\ln n})$

Y $H_n = \ln n +\gamma + O(\frac{1}{n})$, además $\sum \limits_{P} \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} = \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} $

Con el limite $ n \to \infty$ lo conseguimos $ \sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = 2 \gamma$

Nota: Creo que está obligado a utilizar "PNT" de cualquier forma que aborde el problema.