Continuidad de función multivariable con un if $x=x_0$

Question

$x_0 = (0,0)$. Definir$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y-\max(2|x|,\sqrt{x^4+y^2})}{\sqrt{\max(|x|,|y|)+\sqrt{|x||y| }}}&\quad \text{if}\quad (x,y)\neq x_0 \\ a&\quad \text{if} \quad (x,y)=x_0. \end{cases} $$ La pregunta es, ¿es posible encontrar $a$ en $\mathbb{R}$ st la función es continua en $x_0$.

La sugerencia que se da en el ejercicio es encontrar un candidato para el primero. Traté de tomar el límite en$(x,0)$ y $(0,x)$ y ambos son $0.$ Debería $a$ ser $0$¿entonces? ¿Qué otras posibilidades hay?

El asistente me dijo que tengo que demostrar que hay infinidad de secuencias posibles. ¿Pero cómo muestro eso?

Answer 1

Tenemos eso

$$\max\left(2|x|,\sqrt{x^4+y^2}\right)=\frac{2|x|+\sqrt{x^4+y^2}+\left|2|x|-\sqrt{x^4+y^2}\right|}2$$

$$\max\left(|x|,|y|\right)=\frac{|x|+|y|-\left||x|-|y|\right|}2$$

entonces

$$\dfrac{y-\max(2|x|,\sqrt{x^4+y^2})}{\sqrt{\max(|x|,|y|)+\sqrt{|x||y| }}}=\frac{y-\frac{2|x|+\sqrt{x^4+y^2}+\left|2|x|-\sqrt{x^4+y^2}\right|}2}{\sqrt{\frac{|x|+|y|-\left||x|-|y|\right|}2+\sqrt{|x||y| }}}=$$

$$=\sqrt r\,\frac{\sin \theta-\frac{2|\cos \theta|+\sqrt{r^2\cos^4 \theta+\sin^2 \theta}+\left|2|\cos \theta|-\sqrt{r^2\cos^4 \theta+\sin^2 \theta}\right|}2}{\sqrt{\frac{|\cos \theta|+|\sin \theta|-\left||\cos \theta|-|\sin \theta|\right|}2+\sqrt{|\cos \theta||\sin \theta| }}} \to 0$$