Continuidad uniforme VS Continuidad.
La función $f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ Satifica el $(1)$ Y $(2)$. mostrar$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$
$(1)$ $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x)$
$(2)$ $\forall a,b \in (0,\infty) $, $\vert f(b) - f(a) \vert \leq \vert g(b) - g(a)\vert $
Aquí está mi intento.
Decir $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Entonces$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$
Considerar $0 <x,y <\delta $ Entonces, $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \vert g(x)-L \vert + \vert g(y)-L \vert < \epsilon$
Por lo tanto, por $(2)$, $\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $.
Concluí el $f$ es uniformemente continuo en $(0, \delta)$. Por lo tanto,$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$
Pero en mi grupo de estudio, mi colega señaló en qué me había equivocado. Él dijo, "$\delta $ Depende de la $\epsilon$. Así que esta no es la definición de continuidad uniforme ". Y sugirió la definición de continuidad uniforme y continuidad (o los límites). Afirmó" Cuando el caso de continuidad uniforme,$\delta$ no depende de la $\epsilon$. "basado en el $(4)$
$(3)$ Definición de la Continuidad en $(a,b)$ : " $\forall \epsilon > 0,\; { \forall x,y\in (a,b)} \exists \delta>0 \;\; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"
$(4)$ Definición de continuidad uniforme en $(a,b)$ : "$ \forall \epsilon > 0,\;{\exists \delta>0 \; \forall x,y\in (a,b)} \; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"
A diferencia de su pensamiento, gran parte del ejercicio del libro de texto, el primer caso relacionado con el $(3)$(o la prueba de la existencia de los límites) Normalmente encontramos $\delta = \delta(x,\epsilon)$ dependiendo de las dos variables $x$ y $\epsilon$. (Cuando el caso límite $0 < \vert x -y \vert < \delta $). Además, por otro lado, el caso relacionado con la$(4)$, Normalmente encontramos el $\delta =\delta(\epsilon)$ dependiendo de la $\epsilon$. Para aclarar más mi pregunta, déjeme tomar un ejemplo simple.
$e.g.)$ mostrar $f(x) = x^2$ es uniformemente continuo en $D = [0,2]$
Cuando tomamos el $\delta= {\epsilon \over 4}$, Entonces, $\exists \delta= {\epsilon \over 4}$ $s.t.$ $\vert x-y \vert < \delta$ $\Rightarrow$ $\vert f (x) -f(y) \vert = \vert x-y \vert \vert x+y \vert < {\epsilon \over 4}$.
Entonces en mi opinión el $\delta$ debe depender de la $\epsilon$considerando la definición de continuidad uniforme. En mi pensamiento, no puedo entender totalmente la afirmación de mi colega y en qué punto estaba equivocado.
Ayúdame a encontrar mi error en mi solución. Además, ¿su afirmación es correcta? ¿Y por qué aguanta?
Gracias.
Respuestas
Tu dices
Decir $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Entonces$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$
Pero no has definido como $\epsilon$es recogido. Tu colega tiene razón. implícitamente, ha seleccionado$\epsilon$. Sería mucho mejor decirlo explícitamente: para$\epsilon >0$...
Luego, como mencionó su colega, el $\delta$ definido anteriormente depende de la $\epsilon$. Entonces, al final, no ha demostrado una continuidad uniforme. Acabas de probar eso por un$\epsilon$ que seleccione, tiene un intervalo $(0,\delta_\epsilon)$ por lo que tienes $$\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $$ para $x,y \in (0,\delta_\epsilon)$.
El problema es que como $\epsilon$ disminuye, $\delta_\epsilon$también puede disminuir. Al final, las desigualdades solo serán válidas para todos$\epsilon$ en un intervalo vacío ... que no tiene interés.
Tienes que elegir un ϵ de antemano. Deje ϵ> 0, solo entonces debe asegurarse de que siempre pueda encontrar un δ para el que se cumplan las desigualdades. Tienes razón en el sentido de que δ debería depender de ϵ, está implícito en la definición de continuidad uniforme como dijiste, la diferencia entre las dos continuidades es el hecho de que δ no depende de tu elección de x, pero δ debería seguro que depende de ϵ. Solo tienes que asegurarte de que ϵ no salga de la nada y que esté escrito de antemano que estamos eligiendo ϵ> 0, luego, una vez que ese valor de ϵ sea fijo, si siempre podemos encontrar el δ que funciona, el la prueba debería estar bien. Pero es muy importante que elijas ϵ antes que todo lo demás, de lo contrario todo se desmorona (esto se aplica a cualquier definición de convergencia en general)