¿Continuidad y diferenciabilidad débil con derivada débil continua implica una diferenciabilidad continua fuerte?

Aug 20 2020

Dejar $u: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Si$u$ es fuertemente diferenciable (es decir, diferenciable en el sentido clásico) con fuerte derivada $u'$, luego $u$ también es débilmente diferenciable y cada derivada débil es igual a $u'$ Casi en cualquier parte.

Ahora asuma $u$ es continua y tiene una derivada débil continua: podemos concluir que $u$ ¿Es continuamente diferenciable en el sentido fuerte (es decir, habitual)?

Respuestas

1 Surb Aug 19 2020 at 23:07
  • La derivada débil es única, por lo que no hay "varias derivadas" (observe que no trabajamos con funciones , sino con clases de funciones ).

  • Para su segunda pregunta, la respuesta es sí. Ésta es una simple consecuencia del teorema fundamental del cálculo . Además, en lugar de decir que "hay una derivada débil continua" , más bien decimos que "hay un representante continuo de la derivada" .