convergencia en la distribución $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Definir una secuencia de distribución $u_n$.

Dejar $u_n\to u$ en $D'(X)$ y asumir que tenemos una seuqence $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ tal que $\varphi_n\to \varphi $ en $C_c^\infty(X)$.

Podemos mostrar $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Se que podemos mostrar $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ para cualquier $\phi\in C_c^\infty(X)$,y $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ para cada $n$.¿Cómo combinarlos juntos?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

¿Pero no exactamente dos mismas variables?

Answer 1

yo asumo eso $X$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$. Para cualquier subconjunto compacto$K$ de $X$, dejar $C_K^{\infty}(X)$ denotar el espacio de Frechet de todos $f \in C_c^{\infty}(X)$ tal que $\text{supp}(f) \subset K$.

Un teorema no trivial sobre la convergencia en la topología de límite inductivo estricto de $C_c^{\infty}(X)$ implica que debe haber $n_0 \geq1$ y un subconjunto compacto $K \subset X$ para que cada uno $\varphi_n$ con $n \geq n_0$ y $\varphi$ pertenece a $C_{K}^{\infty}(X)$ y eso $\varphi_n \rightarrow \varphi$en este espacio. El mapa de restricciones$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ es continua para las topologías de estrella débil y, por lo tanto, la secuencia de distribuciones restringidas $u_n|_{C_K^{\infty}}$ converge a la distribución restringida $u|_{C_K^{\infty}}$ en la topología de estrella débil en $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Así hemos reducido nuestro problema a demostrar que en cada espacio de Frechet $V$, para cada secuencia convergente de vectores $\varphi_n \rightarrow \varphi$ y secuencia convergente de estrella débil de funcionales lineales continuos $\ell_n \rightarrow \ell$, tenemos $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ en $\mathbb{C}$, como $n \rightarrow \infty$.

Por otra fácil reducción, basta con probar esto en el caso $\varphi=0$ y $\ell = 0$.

Esto, a su vez, se deriva del principio de delimitación uniforme en los espacios de Frechet, como se explica en esta respuesta . Este teorema implica que la familia$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ es automáticamente equi-continuo, lo que significa que, dado cualquier $\varepsilon >0$, Ahi esta $U \subset X$ abierto, $0\in U$, para que para todos $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ tenemos $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Tan dado$\varepsilon$, primero elija tales $U$ y luego toma $n$ suficientemente grande para que $\varphi_n \in U$.