Coordenadas conformales en superficie

Question

Suponer $\Omega$ es un dominio en $R^2$, dejar $F: \Omega\rightarrow R^3$ ser un mapa suave tal que $F(\Omega)$es superficie lisa. La métrica en la superficie es$$g=F_x\cdot F_x dx^2+2F_x\cdot F_y dxdy+F_y\cdot F_y dy^2$$ ¿Tenemos otro sistema de coordenadas tal que la métrica sea $g=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$? He encontrado algo sobre coordenadas isotérmicas en línea. Según tengo entendido, esos resultados son locales. ¿Podemos encontrarlo en su totalidad?$\Omega$? No estoy seguro de si la topología (simplemente conectada, etc.) afecta el resultado.

Answer 1

Supongamos que $\partial\Omega$es suave. Entonces como$\Omega\subset \mathbb{R}^2$, sabemos que después de 'rellenar los huecos' obtenemos un género $0$superficie y esta respuesta aplica y garantiza la existencia de un mapa armónico$u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$sin puntos críticos. Luego$*du$ es una forma única cerrada (donde $*$ es la estrella de Hodge para la métrica de retroceso $g =F^*\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^3}$).

Si $*du$ resulta ser exacto, entonces tenemos $*du=dv$ para una función suave $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$. Exactitud de$*du$ sigue, por ejemplo, si $\Omega$ está simplemente conectado (o más generalmente si $H^1(\Omega,\mathbb{R})=0$). Luego$(u,v):(\Omega,g)\rightarrow \mathbb{R}^2$le dará coordenadas isotérmicas globales , que es exactamente lo que desea.