¿Cuál es el rango de un vector?

Question

Del álgebra lineal sabemos que el rango de una matriz es el número máximo de columnas o filas linealmente independientes en una matriz. Entonces, para una matriz , el rango se puede determinar mediante una simple reducción de fila, determinante, etc. Sin embargo, me pregunto cómo se aplica el concepto de rango a un solo vector, es decir,$\mathbf{v} = [a, \ b, \ c]^{\top}$. Mi intuición sugiere que el rango debe ser igual a 1, pero ni siquiera estoy seguro de si está definido para un vector. ¿Alguien puede ayudar a arrojar algo de luz sobre este tema?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Un vector es un elemento en un espacio vectorial. Como tal, no tiene rango. Una matriz, en el contexto del álgebra lineal, es interesante porque representa una transformación lineal entre espacios vectoriales. Es la transformación lineal lo que nos importa, no el rectángulo de números que llamamos matriz. Una transformación lineal tiene un rango y ese rango es la dimensión de la imagen de la transformación lineal. Es un concepto interesante ya que es una medida de cuán grande es la transformación lineal. Da la casualidad de que cuando la transformación lineal se representa como una matriz, el rango se puede calcular de varias formas convenientes.

Teniendo esto en cuenta, la semejanza superficial de un vector con una matriz es engañosa. Un vector no es una representación de una transformación lineal entre espacios vectoriales. Por esa razón, simplemente no tiene sentido preguntar cuál es el rango de un vector.

Answer 2

Otra definición de rango de una matriz es la dimensión del espacio vectorial abarcado por su columna, por lo que cualquier vector distinto de cero abarca un espacio de dimensión 1.