¿Cuál es la historia del término 'co-dominio'?
Me pregunto si alguien sabe algo más sobre la historia del término "co-dominio" en lo que respecta a las funciones.
Dos fuentes que encontré:
Russell y Whitehead, Principia Mathematica, 1915, página 34:
la clase de todos los términos con los que algo u otro tiene la relación $R$se llama el dominio inverso de$R$; es lo mismo que el dominio del recíproco de$R$.
Cassius Keyser, Filosofía matemática, 1922, página 168:
Una relación $R$tiene lo que se llama un dominio , - la clase de todos los términos de manera que cada uno de ellos tiene la relación con algo u otro, - y también un codominio - la clase de todos los términos de manera que, dado cualquiera de ellos, algo tiene la relación con él.
Me parece que cuando Keyser habla de un "codominio", está hablando de lo mismo que el "dominio inverso" de Russell y Whitehead. Entonces, parece que pasamos de 'dominio inverso' a 'codominio' ... ¿a 'codominio'? Eso parecería tener sentido.
Además, ambos textos hablan de relaciones, no de funciones. Pero, por supuesto, una función es un tipo especial de relación. Entonces ... todavía tiene sentido.
¡Sin embargo! (y esta es realmente la razón por la que estoy haciendo esta pregunta): la forma en que estos dos textos hablan sobre el 'dominio inverso' y el 'codominio' es (cuando se aplica a funciones) lo que hoy en día llamamos el 'rango' o 'imagen' del función, y no lo que hoy llamamos su 'co-dominio'.
Ejemplo concreto:
Tomar una función $f$ cuyo dominio se define como $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, cuyo co-dominio se define como $\mathbb{R}$, y cuyo mapeo se define como $f(x) =1/x$.
Para esta función, el rango o imagen es $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, y eso es lo que (de nuevo, si vemos esta función como una relación) Russell & Whitehead considerarían su 'dominio inverso' lo que Keyser llamaría su 'codominio'.
Pero el 'co-dominio' de esta función se definió como $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Entonces creo que ha habido un cambio en el uso del término ... Es decir, parece que obtuvimos:
'dominio inverso' -> 'codominio' -> 'rango'
... mientras que 'co-dominio' es algo diferente!
¡Esto es raro! ¿Que pasó? ¿Alguien tiene alguna idea de esto?
Respuestas
Es un reconocimiento temprano de la dualidad en la teoría de conjuntos. Dominio vs codominio sugiere una relación que falta en el dominio y el rango.
Esto está oculto en la teoría de conjuntos, ya que las funciones están sesgadas porque no están definidas simétricamente. Tampoco es fácil conceptualizar una a muchas funciones de forma natural, y de forma dual a muchas funciones a una, lo que hacen de forma natural.
Esto se fija en la teoría de categorías donde la dualidad se hace explícita, en lugar de hacerlo de la manera secreta y furtiva en la teoría de conjuntos. Además, la teoría de categorías es la conceptualización correcta de la covarianza como en la noción de covarianza general que Einstein usó heurísticamente en sus investigaciones sobre el carácter general de la ley física.
Curiosamente, uno de los principales descubrimientos de la teoría de cuerdas es el papel que juegan las dualidades en la física. (En la física ordinaria, vemos que la dualidad se manifiesta en la dualidad entre los campos eléctrico y magnético). No me sorprendería que en el fondo esto tuviera la misma raíz que las dualidades en la teoría de categorías.