¿Cuáles son los elipsoides de John para un par de conjuntos convexos (de 9 y 15 dimensiones) de $4 \times 4$ matrices definidas positivas?
¿Cuáles son los elipsoides de John ( JohnEllipsoid ) para los conjuntos convexos de 9 y 15 dimensiones ($A,B$) de $4 \times 4$matrices simétricas (hermitianas) de trazado 1, definidas positivas (en el lenguaje de la información cuántica, los conjuntos de “matrices de densidad” [matrices de densidad ] de “dos rebit” y “dos qubit” [ DensityMatrices ], respectivamente)? (¿Son estos cuerpos "centralmente simétricos", en el sentido de un aspecto del teorema subyacente del Teorema de John ?)
Además, ¿cuál es la relación (intersecciones, ...) de estos elipsoides con los importantes subconjuntos convexos de $A$ y $B$ compuesto por aquellas matrices que permanecen definidas positivas bajo la operación (no completamente positiva) de transposición parcial, mediante la cual los cuatro $2 \times 2$ bloques de la $4 \times 4$las matrices se trasponen en su lugar? (Se ha establecido [ MasterLovasAndai ] que las fracciones de volumen euclidiano ocupadas por estos subconjuntos convexos "PPT" [transposición parcial positiva / separable / no enredada] son$\frac{29}{64}$ para $A$ y $\frac{8}{33}$ para $B$.)
Además, ¿cuál es la relación adicional de estos elipsoides con los "inspheres" (las bolas máximas inscritas en $A$ y $B$[ SBZ ])? Los inspheres también se encuentran dentro de los conjuntos de PPT. ¿Podrían coincidir simplemente los elipsoides y las inspiraciones de John?
Además, ¿cuáles podrían ser los elipsoides de John en sí mismos para estos conjuntos de PPT?
Existe un concepto interesante de "elipsoide de dirección", al que se hace referencia en la siguiente cita p. 28 [SteeringEllipsoid] :
Para estados de dos qubit, los estados condicionales normalizados Alice puede dirigir el sistema de Bob para formar un elipsoide dentro de la esfera Bloch de Bob, conocido como elipsoide de dirección (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 ).
Sin embargo, la "esfera de Bloch" es tridimensional, por lo que el elipsoide de dirección de un estado de dos qubit no puede ser el elipsoide de John (de 15 dimensiones) solicitado anteriormente.
Por supuesto, la pregunta ¿qué son los elipsoides de John puede hacerse para los conjuntos convexos de $m \times m$ simétrico y $n \times n$ Matrices de densidad hermitianas (definidas positivas, traza 1) ($m,n \geq 2$). por$m,n=2$, las respuestas parecen ser triviales, a saber, los conjuntos convexos en sí mismos. por$m,n =3$, parece posiblemente no trivial. Sin embargo, solo para valores compuestos de$m,n$, ¿tenemos preguntas subsidiarias con respecto a los subconjuntos convexos de los estados PPT?
El artículo de Wikipedia proporcionado por el primer hipervínculo anterior describe el
"elipsoide de volumen máximo inscrito como el elipsoide interior de Löwner-John".
[ DensityMatrices ]: Slater - Una fórmula concisa para las probabilidades de separabilidad de Hilbert-Schmidt generalizadas de dos qubit
[ Teorema de John ]: Howard - El teorema del elipsoide de John
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai y fórmulas equivalentes que verifican la$\frac8{33}$ probabilidad de separabilidad de Hilbert-Schmidt de dos qubit y conjeturas complementarias de valores racionales
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson y Życzkowski - Sobre la estructura del cuerpo de estados con transposición parcial positiva
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen y Gühne - Dirección cuántica
Respuestas
Comencemos con dos fórmulas aparentemente relevantes. El primero es para el volumen de un$k$-elipsoide dimensional [Thm. 2.1, ElipsoideVolumen ], \ begin {ecuación} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {ecuación} donde el$a_i$son las longitudes de los semiejes.
El otro es para el volumen del conjunto de $m \times m$matrices simétricas, definidas positivas de la traza 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {ecuación} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {ecuación}
Para el caso ("dos rebit") $m=4$ ($k=9$) de interés inmediato, la fórmula produce \ begin {ecuación} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ approx 0.0016106. \ end {ecuación}
Entonces, la pregunta de particular interés para nosotros es qué proporción de este volumen está ocupada por el elipsoide interno de Lowner-John para el conjunto convexo del conjunto de 9 dimensiones indicado de $4 \times 4$(densidad) matrices. Además, ¿cuál es su magnitud en comparación con$\frac{29}{64}$, la fracción establecida por Lovas y Andai para la separabilidad (equivalentemente, PPT) de probabilidad de los estados de dos rebit Además, en comparación con el volumen de la insfera (para el cual no tenemos un cálculo actual inmediato).
Entonces, para abordar estas preguntas, generamos pares de “matrices de densidad de dos rebit” generadas aleatoriamente (sec, 4, RandomDensityMatrices ), utilizando métodos de conjunto de Ginibre. Luego, tomamos los valores absolutos de sus diferencias y los dividimos por 2. Nueve entradas independientes (tres diagonales y las seis superiores fuera de la diagonal) de la matriz resultante, se tomaron como semiejes.
En este momento, hemos generado cerca de dieciséis millones de pares de este tipo. El par de$4 \times 4$ matrices de densidad para las que hemos encontrado el volumen de elipsoide máximo asociado, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (solo 0,0000432642 de $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), hasta ahora son \ begin {equal} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {ecuación} y \ begin {ecuación} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {ecuación} La mitad de las diferencias absolutas para estas dos matrices de las tres entradas diagonales principales y las seis entradas fuera de la diagonal superiores se utilizan como los nueve semiejes en la primera fórmula dada arriba.
Señalemos también que existe un enfoque alternativo, pero equivalente hasta ciertos factores de normalización, para calcular los volúmenes de $m \times m$matrices de densidad ( AndaiVolume ). Andai, sin embargo, restringió la atención a la$2 \times 2$ Caso hermitiano, y no dio una alternativa explícita a la fórmula de volumen de Zyczkowski y Sommers presentada anteriormente, por lo que, en este momento, no estamos seguros de qué forma tomaría.